Proofs of inequalities by the Sum of Squares method (SOS).

Let $f(a,b,c)=S_a(b-c)^2+S_b(a-c)^2+S_c(a-b)^2$. Then:

  • If $S_a\geq0$, $S_b\geq0$ and $S_c\geq0$ then $f(a,b,c)\geq0$.

  • If $S_a+S_b+S_c\geq0$ and $S_aS_b+S_aS_c+S_bS_c\geq0$ then $f(a,b,c)\geq0$.

  • If $a\geq b\geq c$, $S_a\geq0$, $S_b\geq0$ and $S_b+S_c\geq0$ then $f(a,b,c)\geq0$.

  • If $a\geq b\geq c$, $S_c\geq0$, $S_b\geq0$ and $S_b+S_a\geq0$ then $f(a,b,c)\geq0$.

  • If $a\geq b\geq c$, $S_c\geq0$, $S_b\geq0$ and $a^2S_b+b^2S_a\geq0$ then $f(a,b,c)\geq0$.