Translate some exercises from German to English

Question

I need your help to translate some exercises from German to English.

Für jede positive reelle Zahl a seien zwei Funktionen $f_a$ und $g_a$ durch die Gleichungen $y=f_a(x)=\sqrt{a-x}$ und $y=g_a(x)=\sqrt x - \sqrt a$ gegeben.

a) Nennen Sie die größtmöglichen Definitionsbereiche der Funktionen $f_a$ und $g_a$!

Gebben Sie für jede der Funktionen $f_a$ und $g_a$ die Koordinaten der gemeinsamen Punkte des Graphen mit den Koordinatenachsen an!

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen $f_2$ und $g_2$ in ein und dasselbe Koordinatensystem!

Beschreiben Sie, wie man den Graphen von $g_2$ aus dem Graphen von $f_2$ gewinnen kann!

b) Die Graphen der Funktionen $f_a$ und $g_a$ sowie die $y$-Achse begrenzen ein Flächenstück vollständig. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt!

Die Tangente im Punkt $P_a(a;0)$ an den Graphen von $g_a$ teilt dieses Flächenstück in zwei Teilflächen.

Berechnen Sie, in welchem Verhältnis die Inhalte dieser Teilflächen zueinander stehen!

c) Der Graph der Funktion $g_a$ sowie die Koordinatenachsen begrenzen ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die $x$-Achse.

Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers!

Nun rotiere dasselbe Flächenstück statt um die $x$-Achse um die Gerade mit der Gleichung $y=\sqrt a$.

Ermitteln Sie auch das Volumen dieses Körpers!

d) Die Punkte $O(0;0)$, $Q(r;0)$ und $R(r; f_a(r))$ bilden für jedes $r$ mit $0<r<a$ ein Dreieck.

Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $r$ gibt, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird!

Geben Sie einen ganzzahligen Wert von $a$ an, für den dieser maximale Flächeninhalt ebenfalls ganzzahlig ist!

Thanks :)

Answer 1

For each positive real number $a$ let two functions $f_a$ and $g_a$ be given by the equations $y=f_a(x)=\sqrt{a-x}$ and $y=g_a(x)=\sqrt{x}-\sqrt{a}$.

1. Determine the largest possible domains of the functions $f_a$ and $g_a$. Give the $x$- and $y$-intercepts of each of the functions $f_a$ and $g_a$. Sketch the graphs of the functions $f_2$ and $g_2$ on the same set of coordinate axes. Describe how the graph of $g_2$ can be obtained from the graph of $f_2$.

2. The graphs of the functions $f_a$ and $g_a$ together with the $y$-axis completely bound a region; compute its area. The tangent to the graph of $g_a$ at the point $P_a(a,0)$ divides the region into two subregions. Compute the ratio between the areas of these subregions.

3. The graph of the function $g_a$ together with the coordinate axes bounds a region. This region rotates about the $x$-axis. Calculate the volume of the resulting solid of revolution. Now rotate the same region about the line $y=\sqrt{a}$ instead of about the $x$-axis. Determine the volume of this solid as well.

4. For each $r$ with $0<r<a$ the points $O(0,0)$, $Q(r,0)$, and $R(r,f_a(r))$ determine a triangle. Investigate whether there is a value of $r$ for which the area of this triangle is maximal. State an integer value of $a$ for which this maximal area is also an integer.