I need your help to translate some exercises from German to English.

Für jede positive reelle Zahl a seien zwei Funktionen $f_a$ und $g_a$ durch die Gleichungen $y=f_a(x)=\sqrt{a-x}$ und $y=g_a(x)=\sqrt x - \sqrt a$ gegeben.

a) Nennen Sie die größtmöglichen Definitionsbereiche der Funktionen $f_a$ und $g_a$!

Gebben Sie für jede der Funktionen $f_a$ und $g_a$ die Koordinaten der gemeinsamen Punkte des Graphen mit den Koordinatenachsen an!

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen $f_2$ und $g_2$ in ein und dasselbe Koordinatensystem!

Beschreiben Sie, wie man den Graphen von $g_2$ aus dem Graphen von $f_2$ gewinnen kann!

b) Die Graphen der Funktionen $f_a$ und $g_a$ sowie die $y$-Achse begrenzen ein Flächenstück vollständig. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt!

Die Tangente im Punkt $P_a(a;0)$ an den Graphen von $g_a$ teilt dieses Flächenstück in zwei Teilflächen.

Berechnen Sie, in welchem Verhältnis die Inhalte dieser Teilflächen zueinander stehen!

c) Der Graph der Funktion $g_a$ sowie die Koordinatenachsen begrenzen ein Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um die $x$-Achse.

Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers!

Nun rotiere dasselbe Flächenstück statt um die $x$-Achse um die Gerade mit der Gleichung $y=\sqrt a$.

Ermitteln Sie auch das Volumen dieses Körpers!

d) Die Punkte $O(0;0)$, $Q(r;0)$ und $R(r; f_a(r))$ bilden für jedes $r$ mit $0<r<a$ ein Dreieck.

Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $r$ gibt, für den der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird!

Geben Sie einen ganzzahligen Wert von $a$ an, für den dieser maximale Flächeninhalt ebenfalls ganzzahlig ist!

Thanks :)

  • $\begingroup$ How about trying Wikipediacht; this really helped me pass my exam: de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik) , and follow the links; the context will help you learn some new terms. Of course, you also need to know the very basics of German grammar and vocabulary . There are free (freie) online German-English Diktionaren ( or something like that ). $\endgroup$ – DBFdalwayse Dec 15 '13 at 0:56
  • $\begingroup$ Why not use google translate? $\endgroup$ – Sergio Parreiras Dec 15 '13 at 0:58
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    $\begingroup$ @Sergio Parreiras: It is not too good (yet?) for technical/specialized topics. $\endgroup$ – DBFdalwayse Dec 15 '13 at 0:58
  • $\begingroup$ what about using google translate? $\endgroup$ – Alexander Grothendieck Dec 15 '13 at 1:41
  • 2
    $\begingroup$ I don't believe this should have been put on hold as off-topic. There is a translation-request tag! I'm voting to reopen; discussion should probably occur on the meta post opened by the OP. $\endgroup$ – dfeuer Dec 15 '13 at 7:21

For each positive real number $a$ let two functions $f_a$ and $g_a$ be given by the equations $y=f_a(x)=\sqrt{a-x}$ and $y=g_a(x)=\sqrt{x}-\sqrt{a}$.

  1. Determine the largest possible domains of the functions $f_a$ and $g_a$. Give the $x$- and $y$-intercepts of each of the functions $f_a$ and $g_a$. Sketch the graphs of the functions $f_2$ and $g_2$ on the same set of coordinate axes. Describe how the graph of $g_2$ can be obtained from the graph of $f_2$.

  2. The graphs of the functions $f_a$ and $g_a$ together with the $y$-axis completely bound a region; compute its area. The tangent to the graph of $g_a$ at the point $P_a(a,0)$ divides the region into two subregions. Compute the ratio between the areas of these subregions.

  3. The graph of the function $g_a$ together with the coordinate axes bounds a region. This region rotates about the $x$-axis. Calculate the volume of the resulting solid of revolution. Now rotate the same region about the line $y=\sqrt{a}$ instead of about the $x$-axis. Determine the volume of this solid as well.

  4. For each $r$ with $0<r<a$ the points $O(0,0)$, $Q(r,0)$, and $R(r,f_a(r))$ determine a triangle. Investigate whether there is a value of $r$ for which the area of this triangle is maximal. State an integer value of $a$ for which this maximal area is also an integer.

  • $\begingroup$ You mean with more translations? Probably, if it’s not too much. This is for the Abitur? $\endgroup$ – Brian M. Scott Dec 15 '13 at 1:30
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    $\begingroup$ @Iuli: I can’t help with that, I’m afraid: I honestly don’t know what it covers. $\endgroup$ – Brian M. Scott Dec 15 '13 at 1:33
  • $\begingroup$ now I want to ask you something about 3). is it ok what I did. $\cap Ox$, so $y=0$, $x=a$, $A(a,x)$. $\mbox{ }$ $\cap Oy$, so $x=0$, $y=\sqrt(a)$, $B(0,\sqrt{a})$ Now $$\mbox{Volume}=\pi\int^{a}_{0}{g_{a}^{2}(x)}\mbox{dx}$$? $\endgroup$ – Iuli Dec 15 '13 at 1:47
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    $\begingroup$ @Iuli: Yes, that will give you the volume when the region is revolved about the $x$-axis (though you do want a $dx$ on the end). $\endgroup$ – Brian M. Scott Dec 15 '13 at 1:49
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    $\begingroup$ @Iuli: No, now you have a washer whose outer radius is $R=\sqrt{a}-g_a(x)$ and whose inner radius is $r=\sqrt{a}$, so its area is $\pi(R^2-r^2)$. $\endgroup$ – Brian M. Scott Dec 15 '13 at 1:58

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