8
$\begingroup$

In the No-Four-In-Plane problem, points are selected so that no four of them are coplanar.

Eight points can be picked from a $3\times3\times3$ space in a unique way.

Can 11 points be picked from a $4\times4\times4$ grid so that no four points are coplanar?

What is the maximal number of points selectable from a $5\times5\times5$ grid, and beyond?

NEW

There's a computer programming contest running through June 4, 2016 that asks the question "What's the most points in an n × n × n grid of which no 4 are coplanar?" for larger values of n.

$\endgroup$
6
  • $\begingroup$ There are 'only' $7\times 10^{11}$ different configurations that need to be tested, and with early-reject/branch-and-bound techniques I'd expect that to be closer to maybe $10^9$ or so. Have you tried coding it up in C++ or the like? $\endgroup$ Nov 5 '13 at 21:43
  • $\begingroup$ Nope, I just did some random searching years ago, and noticed it as a problem I hadn't solved. $\endgroup$
    – Ed Pegg
    Nov 5 '13 at 21:47
  • $\begingroup$ This would make a good Project Euler-style problem for an undergrad CS class, I think, but it seems really straightforward to just search: build a search tree of subconfigurations, and at each node compute the 'new' forbidden locations by filling out each plane through the most recently added point and all pairs of previous points. (This is probably best done by iterating through all the non-forbidden points computing dot products against the cross-product; since in fact this dot product is a linear function you could also DDA it.) $\endgroup$ Nov 5 '13 at 22:03
  • $\begingroup$ Right, but this is a math site, so I assume most here are interested in knowing the structure of a general solution, and not just being able to figure out the solution. $\endgroup$
    – user99680
    Nov 5 '13 at 22:10
  • 1
    $\begingroup$ @user99680 Many of these problems, especially their 'small-$n$' versions, seem to have no general structure; for instance, see en.wikipedia.org/wiki/No-three-in-line_problem and the associated oeis.org/A000769 where many of the solutions have very little structure. $\endgroup$ Nov 5 '13 at 22:30
8
$\begingroup$

On $4\times 4 \times 4$:

maximal number of points for $4\times 4 \times 4$ grid is $10$.

As I checked, there are no way to build $11$ points in a $4 \times 4 \times 4$ grid (ignoring rotating, reflecting) with No-Four-In-Plane rule.

And there are $232$ ways to build $10$ such points:
here is this list:

(0,0,0) (0,0,1) (0,3,3) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,1) (3,1,2);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,1) (1,3,3) (2,0,1) (2,1,2) (2,3,3) (3,1,0);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,3) (1,3,2) (2,0,3) (2,1,0) (2,3,1) (3,2,0);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,3) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,0,1) (2,1,1) (2,3,0) (3,2,3);
(0,0,0) (0,0,3) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,1) (1,3,2) (2,0,1) (2,1,0) (2,3,0) (3,1,3);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,1) (2,0,2) (2,1,0) (2,2,3) (3,0,1);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,2) (2,1,0) (2,2,3) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,2) (2,1,0) (2,2,3) (3,2,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,3) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,1,3) (2,3,0) (2,3,2) (3,0,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,3) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,2,3) (2,3,0) (2,3,2) (3,0,1);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,1) (3,0,2);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,3) (1,2,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,1) (3,1,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,0) (2,1,0) (2,3,1) (3,0,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,0) (2,1,0) (2,3,2) (3,0,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,2) (1,3,3) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,1) (3,0,2);
(0,0,0) (0,0,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,3,1) (3,0,1) (3,1,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,0,1) (0,3,1) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,1,2) (3,1,1) (3,2,0) (3,3,3);
(0,0,0) (0,0,1) (0,3,2) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,1) (2,1,3) (3,1,0) (3,2,0) (3,3,2);
(0,0,0) (0,0,1) (0,3,2) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,3,0) (3,0,3) (3,1,2) (3,2,3);
(0,0,0) (0,0,1) (0,3,2) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,3,1) (3,0,2) (3,1,0) (3,2,3);
(0,0,0) (0,0,2) (0,1,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,3,3) (3,1,0) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,0,2) (0,1,3) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,3,0) (3,0,3) (3,1,1) (3,2,1);
(0,0,0) (0,0,2) (0,2,1) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,2) (2,3,0) (3,0,3) (3,1,1) (3,2,3);
(0,0,0) (0,0,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,1,0) (3,1,2) (3,2,1) (3,3,1);
(0,0,0) (0,0,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,3,3) (3,1,2) (3,2,1) (3,3,1);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,1) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,3) (2,3,2) (3,0,2) (3,1,3) (3,2,0);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,3,2) (3,0,0) (3,1,2) (3,2,3);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,3,2) (3,0,3) (3,1,2) (3,2,0);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,2) (1,1,2) (1,2,0) (1,3,3) (2,3,1) (3,0,1) (3,1,3) (3,2,0);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,3) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,1,2) (3,1,0) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,3) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,0) (2,3,2) (3,0,1) (3,1,3) (3,2,2);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,3) (1,1,3) (1,2,2) (1,3,0) (2,3,2) (3,0,1) (3,1,3) (3,2,0);
(0,0,0) (0,0,3) (0,1,1) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,0) (2,3,2) (3,0,1) (3,1,3) (3,2,2);
(0,0,0) (0,0,3) (0,2,1) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,3,1) (3,0,1) (3,1,2) (3,2,0);
(0,0,0) (0,0,3) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,3,1) (3,0,2) (3,1,0) (3,2,1);
(0,0,0) (0,1,1) (0,1,2) (1,0,3) (1,2,3) (1,3,0) (2,2,3) (3,0,2) (3,1,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,1) (0,1,3) (1,0,1) (1,2,0) (1,3,2) (2,2,3) (3,0,1) (3,1,0) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,1,0) (3,1,3) (3,3,1) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,1) (2,0,3) (3,1,2) (3,3,0) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,3,0) (1,3,1) (2,2,3) (3,0,1) (3,2,0) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,3,0) (1,3,1) (2,2,3) (3,0,1) (3,2,2) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,3,0) (1,3,3) (2,1,3) (3,0,1) (3,1,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,2) (3,0,2) (3,2,1) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,3) (1,2,3) (1,3,0) (2,2,1) (3,0,2) (3,1,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,1) (3,2,2) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,3) (3,1,2) (3,2,0);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,3) (3,1,2) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,0) (2,3,2) (3,0,1) (3,0,2) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,1) (2,1,0) (3,0,1) (3,2,2) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,1) (3,2,2) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,1) (3,2,2) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,2,3) (1,3,0) (1,3,1) (2,3,2) (3,0,2) (3,1,2) (3,2,1);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,2,3) (1,3,0) (1,3,1) (2,3,3) (3,0,2) (3,1,2) (3,2,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,1,3) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,1) (3,0,1) (3,2,3) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,1,3) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,2,3) (3,1,1) (3,2,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,1) (1,2,0) (1,3,3) (2,0,1) (3,1,0) (3,1,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,1) (1,2,0) (1,3,3) (2,0,1) (3,1,3) (3,3,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,2) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,3) (3,1,0) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,1) (1,0,2) (1,3,0) (2,3,3) (3,1,3) (3,2,1) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,1) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,0) (3,1,3) (3,2,1) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,2) (1,2,0) (1,3,0) (2,3,3) (3,1,1) (3,1,3) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,3) (3,0,2) (3,2,1) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,0) (2,3,2) (3,1,1) (3,1,3) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,2,1) (1,3,1) (2,1,3) (3,0,2) (3,1,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,3) (3,0,1) (3,1,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,2,0) (3,0,1) (3,2,2) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,3,1) (3,0,1) (3,0,2) (3,1,0);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,0,2) (1,0,3) (1,2,0) (2,3,3) (3,1,1) (3,2,1) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,3,3) (3,0,2) (3,1,1) (3,1,3);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,1) (2,2,3) (3,1,1) (3,2,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,3) (3,0,2) (3,2,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,0,1) (3,1,0) (3,1,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,0,3) (1,2,3) (1,3,2) (2,3,1) (3,0,2) (3,1,0) (3,1,3);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,3) (1,3,0) (2,2,1) (3,0,2) (3,1,0) (3,2,3);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,2) (1,0,1) (1,0,3) (1,2,0) (2,3,3) (3,1,3) (3,2,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,2) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,0,3) (3,2,0) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,0,1) (3,1,0) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,0,1) (3,2,2) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,1) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,3) (3,1,1) (3,3,1) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,1) (1,2,0) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,1) (3,3,1) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,0) (3,0,1) (3,2,1) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,0) (3,0,2) (3,2,1) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,0) (3,1,1) (3,2,1) (3,2,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,2) (1,3,0) (1,3,1) (2,2,3) (3,0,2) (3,2,1) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,3) (1,0,0) (1,0,2) (1,3,1) (2,3,0) (3,1,2) (3,2,1) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,3) (1,1,0) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,0) (3,0,2) (3,2,1) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,3,3) (2,2,3) (3,1,2) (3,2,0) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,1) (1,0,1) (1,1,2) (1,3,3) (2,3,0) (3,1,2) (3,2,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,0) (1,2,0) (1,3,1) (2,2,3) (3,1,2) (3,2,1) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,1) (1,1,3) (1,3,0) (2,2,3) (3,1,2) (3,2,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,1) (1,1,3) (1,3,0) (2,3,3) (3,1,2) (3,2,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,2,3) (3,1,1) (3,2,1) (3,2,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,2) (1,1,3) (1,3,0) (2,2,0) (3,1,1) (3,2,1) (3,2,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,2) (1,2,0) (1,3,0) (2,3,3) (3,1,1) (3,1,2) (3,2,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,2,3) (3,1,1) (3,2,0) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,3) (2,0,1) (3,2,0) (3,2,2) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,2,3) (2,0,1) (3,1,0) (3,2,2) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,3,3) (3,1,2) (3,2,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,1) (3,1,1) (3,2,2) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,1) (3,2,2) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,2,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,3) (3,0,2) (3,1,2) (3,3,1);
(0,0,0) (0,2,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,1) (3,1,1) (3,3,2);
(0,0,0) (0,2,3) (0,3,2) (1,0,1) (1,1,3) (1,3,0) (2,3,3) (3,0,1) (3,2,1) (3,2,2);
(0,0,0) (0,2,3) (0,3,2) (1,0,2) (1,0,3) (1,3,1) (2,2,0) (3,1,0) (3,2,1) (3,3,1);
(0,0,1) (0,0,2) (0,1,0) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,3,3) (3,0,0) (3,1,1) (3,2,1);
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,3) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,2,0) (3,0,2) (3,1,2) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,0) (1,3,1) (1,3,2) (2,2,0) (3,0,3) (3,2,2) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,1) (1,1,3) (1,3,2) (2,3,3) (3,0,2) (3,2,2) (3,3,0);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,3,3) (3,1,1) (3,1,2) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,0) (3,1,2) (3,2,0) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,0) (3,1,3) (3,2,0) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,0) (3,0,1) (3,2,1) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,2,0) (1,2,2) (1,3,2) (2,0,0) (3,0,3) (3,1,1) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,1) (0,1,3) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,2) (2,3,2) (3,0,2) (3,2,0) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,0) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,3,2) (3,1,0) (3,1,3) (3,2,1);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,3,1) (1,3,3) (2,2,0) (3,0,0) (3,2,3) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,1) (2,3,2) (3,0,3) (3,2,2) (3,3,0);
(0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,0,0) (1,1,3) (1,3,2) (2,2,0) (3,1,2) (3,2,1) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,0,1) (1,1,3) (1,3,0) (2,0,2) (3,2,0) (3,2,2) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,0,0) (3,1,0) (3,2,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,3,1) (3,0,0) (3,2,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,0) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,1) (2,1,3) (3,0,2) (3,2,0) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,1) (1,0,2) (1,3,1) (1,3,3) (2,3,0) (3,0,2) (3,1,0) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,1) (1,1,0) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,2) (3,0,3) (3,1,0) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,1) (1,0,3) (1,3,0) (2,3,3) (3,1,3) (3,2,0) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,1) (1,1,3) (1,3,0) (2,3,3) (3,0,2) (3,2,0) (3,2,1);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,3,1) (3,1,1) (3,1,3) (3,2,0);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,3,3) (3,1,1) (3,1,3) (3,2,0);
(0,0,1) (0,1,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,1) (2,0,0) (3,0,2) (3,1,0) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,2) (0,3,2) (1,0,2) (1,0,3) (1,2,0) (2,3,1) (3,1,1) (3,2,3) (3,3,0);
(0,0,1) (0,1,2) (0,3,2) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,3,3) (3,0,3) (3,1,0) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,2) (0,3,2) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,3,3) (3,0,3) (3,2,0) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,0) (1,0,3) (1,3,1) (2,2,0) (3,1,2) (3,2,1) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,0) (1,2,2) (1,3,2) (2,3,0) (3,0,3) (3,1,1) (3,1,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,0) (1,2,2) (1,3,2) (2,3,0) (3,1,2) (3,1,3) (3,2,1);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,1,3) (3,0,2) (3,3,0) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,2,0) (3,0,3) (3,1,2) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,0) (1,2,3) (1,3,2) (2,3,0) (3,0,3) (3,1,1) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,0) (1,2,3) (1,3,2) (2,3,0) (3,1,1) (3,1,2) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,1) (1,2,2) (1,3,3) (2,3,0) (3,0,2) (3,1,0) (3,1,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,1) (1,3,0) (1,3,3) (2,3,2) (3,0,2) (3,1,1) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,1) (1,3,2) (1,3,3) (2,3,0) (3,0,2) (3,1,0) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,2) (1,1,3) (1,3,3) (2,0,0) (3,2,1) (3,2,2) (3,3,0);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,1) (2,1,0) (3,0,2) (3,1,2) (3,3,0);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,3,0) (3,0,2) (3,1,2) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,2) (3,1,0) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,2) (3,2,0) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,1,0) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,3) (3,0,2) (3,2,2) (3,3,0);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,1) (2,1,2) (3,0,0) (3,2,1) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,2,0) (1,3,1) (1,3,3) (2,1,0) (3,0,3) (3,1,2) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (3,0,2) (3,1,2) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,3,3) (2,3,2) (3,0,2) (3,2,3) (3,3,0);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,1) (1,1,0) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,0) (3,0,2) (3,2,0) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,1) (1,1,0) (1,3,2) (1,3,3) (2,0,2) (3,0,2) (3,2,3) (3,3,0);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,1) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,0) (3,0,2) (3,2,0) (3,3,3);
(0,0,1) (0,2,1) (0,2,2) (1,0,0) (1,1,3) (1,3,2) (2,3,0) (3,0,0) (3,1,2) (3,2,3);
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,3) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,1) (2,1,3) (2,3,2) (3,1,2) (3,2,1);
(0,0,0) (0,0,2) (0,1,1) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,0,3) (2,3,2) (3,1,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,0,2) (0,1,1) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,1) (2,3,0) (3,1,3) (3,2,3);
(0,0,0) (0,0,2) (0,1,1) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,0) (3,0,1) (3,2,1);
(0,0,0) (0,0,2) (0,2,3) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,0) (3,0,1) (3,2,1);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,1) (1,1,1) (1,2,3) (1,3,3) (2,1,2) (2,3,0) (3,1,2) (3,2,0);
(0,0,0) (0,0,2) (0,3,2) (1,1,1) (1,2,3) (1,3,2) (2,0,3) (2,3,1) (3,1,3) (3,2,0);
(0,0,0) (0,0,3) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,1,1) (2,3,2) (3,1,2) (3,2,0);
(0,0,0) (0,1,1) (0,1,3) (1,0,1) (1,1,3) (1,3,2) (2,2,3) (2,3,0) (3,0,2) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,3,0) (1,3,1) (2,1,3) (2,3,0) (3,0,1) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,2) (2,1,0) (3,0,1) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,2) (2,3,0) (3,0,1) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,1) (1,0,2) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,2) (2,1,3) (3,1,0) (3,2,0);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,2) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,3) (2,3,1) (3,1,0) (3,2,3);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,0,3) (1,1,0) (1,3,1) (2,2,3) (2,3,3) (3,2,0) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,3) (2,0,0) (2,0,1) (3,2,3) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,3) (1,3,0) (2,2,1) (2,3,2) (3,0,2) (3,1,0);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,2) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,2,3) (2,3,1) (3,1,1) (3,2,0);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,1) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,3) (2,1,0) (3,3,1) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,1) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,3) (2,1,0) (3,3,1) (3,3,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,1) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,3) (2,1,0) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,2) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,2,3) (2,3,0) (3,0,2) (3,2,1);
(0,0,0) (0,1,3) (0,2,3) (1,2,0) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,2) (2,1,0) (3,0,1) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,2) (1,1,0) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,1) (2,0,2) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,2,2) (0,2,3) (1,0,2) (1,1,0) (1,3,1) (2,2,3) (2,3,0) (3,0,1) (3,1,3);
(0,0,0) (0,2,3) (0,3,2) (1,0,1) (1,0,2) (1,3,0) (2,1,3) (2,2,3) (3,1,0) (3,3,1);
(0,0,1) (0,0,2) (0,1,1) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,1,0) (2,3,2) (3,1,3) (3,2,1);
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,3) (1,0,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,0,3) (2,2,0) (3,1,2) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,2) (1,0,2) (1,3,0) (1,3,1) (2,0,0) (2,1,3) (3,1,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,2) (1,0,3) (1,1,3) (1,3,2) (2,0,1) (2,3,3) (3,1,2) (3,2,0);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,2) (1,0,3) (1,2,3) (1,3,1) (2,1,3) (2,2,0) (3,0,0) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,2) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,0) (2,1,3) (3,1,2) (3,2,0);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,1) (1,3,0) (1,3,3) (2,1,3) (2,2,0) (3,0,2) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,2) (1,0,3) (1,3,1) (2,1,3) (2,2,0) (3,1,1) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,1) (2,1,3) (2,2,0) (3,0,0) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (2,2,0) (3,0,2) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,0) (2,3,1) (3,0,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,0) (2,3,1) (3,0,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,2) (1,1,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,1,2) (2,3,0) (3,0,0) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,0,0) (2,3,2) (3,1,0) (3,1,3);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,2,3) (1,3,0) (2,0,0) (2,3,2) (3,1,3) (3,2,1);
(0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,2) (2,0,0) (2,0,2) (3,1,3) (3,2,0);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,0) (1,0,3) (1,1,3) (1,3,0) (2,0,1) (2,3,3) (3,1,0) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,1,0) (2,3,3) (3,1,3) (3,2,1);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,2) (1,0,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,1) (2,3,3) (3,1,3) (3,2,0);
(0,0,1) (0,1,2) (0,3,2) (1,1,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,0,2) (2,3,1) (3,0,3) (3,2,0);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,1) (1,3,2) (1,3,3) (2,1,0) (2,3,0) (3,1,2) (3,2,1);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,2) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,1) (2,1,0) (3,2,2) (3,3,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (2,2,0) (3,0,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (2,2,0) (3,0,2) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,0,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,1,0) (2,3,0) (3,0,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,1,0) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,3) (2,2,0) (3,0,2) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,0) (2,1,0) (3,0,2) (3,3,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,2,1) (1,0,0) (1,1,3) (1,3,2) (2,0,2) (2,3,0) (3,2,0) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,3) (0,3,1) (1,0,0) (1,1,3) (1,3,2) (2,0,2) (2,3,0) (3,2,0) (3,2,3);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,1,3) (1,3,2) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,0) (3,2,1) (3,2,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,3,2) (1,3,3) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,0) (3,0,2) (3,2,1);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,1) (1,1,3) (1,3,3) (2,2,0) (2,3,1) (2,3,3) (3,0,2) (3,1,0);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,2,3) (1,3,1) (2,0,2) (2,0,3) (2,2,0) (3,1,1) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,2,3) (1,3,3) (2,0,3) (2,2,0) (2,3,1) (3,0,2) (3,1,0);
(0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,3,1) (1,3,3) (2,0,3) (2,1,1) (2,2,0) (3,0,2) (3,2,3);
(0,0,0) (0,1,3) (0,3,1) (1,1,3) (1,2,3) (2,0,1) (2,0,2) (2,3,0) (3,2,0) (3,3,2);
(0,0,1) (0,0,2) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,0,2) (2,1,3) (2,3,0) (3,1,0) (3,2,2);
(0,0,1) (0,0,2) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,1) (2,0,3) (2,1,0) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,2);
(0,0,1) (0,0,2) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,3) (2,0,3) (2,1,0) (2,3,1) (3,1,0) (3,2,2);
(0,0,1) (0,0,2) (0,2,1) (1,2,0) (1,3,3) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,0,2) (0,2,1) (1,2,0) (1,3,3) (2,0,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,0) (3,2,2);
(0,0,1) (0,0,2) (0,2,1) (1,2,3) (1,3,0) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,1) (3,1,3) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,3) (1,3,0) (1,3,2) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,1) (3,1,3) (3,2,2);
(0,0,1) (0,1,2) (0,2,1) (1,3,0) (1,3,1) (2,0,2) (2,1,0) (2,3,3) (3,0,2) (3,2,3);
(0,0,0) (0,0,2) (0,1,3) (1,2,0) (1,3,2) (2,1,0) (2,3,1) (3,0,3) (3,2,3) (3,3,1);
(0,0,0) (0,0,3) (0,1,1) (1,2,0) (1,3,2) (2,0,1) (2,3,0) (3,1,3) (3,2,3) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,1) (0,2,3) (1,3,1) (1,3,2) (2,0,3) (2,1,0) (3,0,1) (3,2,2) (3,3,2);
(0,0,0) (0,1,2) (0,2,3) (1,0,3) (1,3,1) (2,2,0) (2,3,3) (3,0,2) (3,1,0) (3,3,1);
(0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,1,3) (1,2,0) (2,0,2) (2,3,1) (3,1,0) (3,2,2) (3,2,3);
(0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,1,3) (1,3,0) (2,0,0) (2,2,3) (3,1,3) (3,2,0) (3,2,2).

On $5\times 5 \times 5$:

maximal number of points for $5\times 5 \times 5$ grid is $13$.

There are $38$ ways to build such $13$ points (ignoring rotations and reflections). Each of these ways is equivalent to certain item of this list:

 (0,0,0) (0,0,3) (0,3,4) (1,2,0) (1,3,3) (1,4,1) (2,1,1) (3,1,4) (3,2,4) (3,4,3) (4,0,1) (4,1,2) (4,4,0); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,1,3) (1,2,4) (1,3,0) (1,4,1) (2,4,4) (3,0,2) (3,1,0) (3,3,1) (4,0,4) (4,2,3) (4,4,1); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,1,3) (1,3,4) (1,4,1) (2,1,0) (2,2,4) (2,4,1) (3,0,4) (3,2,0) (4,0,2) (4,2,3) (4,4,3); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,2,1) (1,1,3) (1,1,4) (1,4,3) (2,3,1) (3,0,4) (3,2,0) (3,4,3) (4,0,2) (4,2,4) (4,3,0); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,1,3) (1,3,4) (1,4,1) (2,0,3) (3,1,1) (3,2,4) (3,4,0) (4,0,3) (4,2,0) (4,4,2); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,1,4) (1,4,2) (1,4,4) (2,1,0) (3,0,4) (3,3,0) (3,4,1) (4,0,2) (4,2,3) (4,3,1); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,3,1) (1,3,4) (1,4,1) (1,4,3) (2,0,4) (3,1,1) (3,2,4) (3,3,2) (4,0,3) (4,2,0) (4,4,3); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,3,2) (1,2,0) (1,3,4) (1,4,3) (2,0,1) (3,1,4) (3,2,0) (3,3,1) (4,0,3) (4,1,1) (4,2,4); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,4,1) (1,0,2) (1,1,3) (1,3,4) (2,4,0) (3,2,0) (3,3,4) (3,4,3) (4,0,3) (4,1,1) (4,3,1); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,4,3) (1,2,4) (1,3,0) (1,3,1) (2,0,4) (3,0,2) (3,3,1) (3,4,1) (4,1,0) (4,2,3) (4,4,4); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,4,4) (1,1,4) (1,4,1) (1,4,2) (2,0,1) (3,1,3) (3,2,0) (3,3,4) (4,0,3) (4,2,0) (4,3,3); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,4,4) (1,2,4) (1,4,1) (1,4,2) (2,0,3) (2,1,0) (3,1,0) (3,3,1) (4,0,4) (4,2,3) (4,3,3); 
 (0,0,0) (0,1,2) (0,4,4) (1,2,4) (1,4,3) (2,0,1) (2,1,4) (2,4,0) (3,1,0) (3,3,1) (4,2,3) (4,3,1) (4,3,3); 
 (0,0,0) (0,1,3) (0,4,2) (1,0,1) (1,2,0) (1,4,4) (2,4,3) (3,0,4) (3,1,1) (3,3,4) (4,2,1) (4,3,0) (4,3,2); 
 (0,0,0) (0,1,3) (0,4,3) (1,2,0) (1,3,4) (1,4,1) (2,0,3) (3,1,1) (3,3,4) (3,4,2) (4,1,2) (4,2,4) (4,3,0); 
 (0,0,0) (0,1,4) (0,2,3) (1,2,0) (1,3,1) (1,4,4) (2,0,0) (3,0,3) (3,3,4) (3,4,2) (4,1,2) (4,1,3) (4,3,2); 
 (0,0,0) (0,2,3) (0,3,2) (1,0,3) (1,2,4) (1,4,3) (2,3,1) (3,0,4) (3,1,0) (3,1,2) (4,1,4) (4,3,1) (4,4,2); 
 (0,0,0) (0,2,3) (0,3,4) (1,1,4) (1,4,2) (2,0,4) (2,1,1) (2,3,0) (3,4,1) (3,4,3) (4,0,1) (4,1,3) (4,3,0); 
 (0,0,0) (0,2,3) (0,4,2) (1,1,4) (1,2,4) (1,4,0) (2,0,4) (2,1,1) (3,1,1) (3,4,3) (4,0,3) (4,3,1) (4,3,2); 
 (0,0,0) (0,2,3) (0,4,3) (1,0,0) (1,1,3) (1,4,4) (2,3,1) (3,0,4) (3,1,2) (3,4,1) (4,2,0) (4,3,2) (4,3,4); 
 (0,0,0) (0,2,4) (0,4,3) (1,2,1) (1,3,1) (2,0,3) (2,1,4) (2,4,0) (3,3,1) (3,4,4) (4,0,2) (4,1,0) (4,3,3); 
 (0,0,1) (0,0,3) (0,2,0) (1,2,3) (1,3,4) (1,4,1) (2,1,4) (3,1,0) (3,3,1) (3,4,4) (4,0,2) (4,1,0) (4,3,3); 
 (0,0,1) (0,0,3) (0,4,2) (1,2,0) (1,3,4) (1,4,4) (2,0,1) (3,1,0) (3,3,3) (3,4,1) (4,1,3) (4,2,4) (4,3,0); 
 (0,0,1) (0,1,0) (0,2,3) (1,0,3) (1,1,3) (1,2,0) (2,4,4) (3,1,1) (3,3,0) (3,4,2) (4,0,2) (4,3,1) (4,3,4); 
 (0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,0,3) (1,4,0) (1,4,2) (2,1,4) (2,2,0) (3,1,0) (3,3,3) (4,0,3) (4,2,2) (4,3,1); 
 (0,0,1) (0,1,1) (0,3,2) (1,0,4) (1,3,3) (1,4,1) (2,3,0) (2,4,3) (3,0,0) (3,1,2) (4,2,0) (4,2,4) (4,4,3); 
 (0,0,1) (0,1,1) (0,4,3) (1,0,3) (1,1,0) (1,1,4) (2,3,0) (2,4,4) (3,2,4) (3,4,2) (4,0,1) (4,2,0) (4,3,2); 
 (0,0,1) (0,1,2) (0,3,3) (1,3,4) (1,4,1) (1,4,3) (2,1,0) (3,1,4) (3,2,4) (3,4,0) (4,0,2) (4,2,1) (4,3,3); 
 (0,0,1) (0,1,2) (0,4,3) (1,2,4) (1,4,1) (2,0,4) (2,3,0) (2,4,3) (3,0,0) (3,1,4) (4,1,3) (4,3,1) (4,3,2); 
 (0,0,1) (0,2,1) (1,2,0) (1,3,3) (1,4,2) (2,0,1) (2,2,4) (2,4,0) (3,0,3) (3,1,0) (4,1,3) (4,3,2) (4,3,4); 
 (0,0,1) (0,2,3) (0,3,1) (1,0,3) (1,2,4) (1,4,2) (2,1,0) (2,4,2) (3,1,3) (3,3,0) (4,1,1) (4,3,4) (4,4,0); 
 (0,0,1) (0,2,4) (0,3,2) (1,0,3) (1,2,0) (1,4,2) (2,3,4) (2,4,0) (3,1,0) (3,1,4) (4,0,1) (4,1,3) (4,3,1); 
 (0,0,1) (0,2,4) (0,3,2) (1,1,0) (1,3,0) (1,4,4) (2,0,0) (3,1,3) (3,4,1) (3,4,2) (4,0,2) (4,2,1) (4,3,4); 
 (0,0,2) (0,3,1) (1,0,3) (1,1,0) (1,4,1) (2,0,1) (2,2,4) (2,4,0) (3,1,0) (3,4,4) (4,1,2) (4,3,2) (4,3,4); 
 (0,1,1) (0,2,3) (1,0,2) (1,2,0) (1,4,3) (2,0,0) (2,1,4) (2,4,3) (3,3,0) (3,3,1) (4,0,4) (4,1,2) (4,4,4); 
 (0,1,1) (0,2,3) (1,0,4) (1,3,0) (1,4,1) (2,0,1) (2,0,2) (2,4,4) (3,3,4) (3,4,3) (4,1,3) (4,2,0) (4,3,0); 
 (0,1,1) (0,2,3) (1,1,4) (1,3,3) (1,4,0) (2,0,2) (2,3,0) (2,4,1) (3,0,0) (3,0,1) (4,2,4) (4,3,4) (4,4,2); 
 (0,1,1) (0,3,3) (1,0,1) (1,2,4) (1,4,0) (2,0,3) (2,1,0) (2,2,0) (3,3,4) (3,4,3) (4,0,1) (4,3,2) (4,4,4). 

There are no way to build $14$ points in a $5\times 5 \times 5$ grid, as I checked.


Easiest (than brute force search) way to find solutions is layer-by layer constructing.

Each layer need to have $1$ or $2$ or $3$ points.

So, if I need to search all $14$-points on $5\times 5 \times 5$ grid, I consider these layers configurations:
$3:3:3:3:2$, $\quad 3:3:3:2:3$, $\quad 3:3:2:3:3$, $\quad \color{gray}{3:2:3:3:3}$, $\quad \color{gray}{2:3:3:3:3}$.

To build/generate, for example, layer configuration $3:3:3:2:3$, I can add one point to one of $13$-points configurations:
$\color{red}{2}:3:3:2:3$, $\quad 3:\color{red}{2}:3:2:3$, $\quad 3:3:\color{red}{2}:2:3$, $\quad 3:3:3:\color{red}{1}:3$, $\quad 3:3:3:2:\color{red}{2}$.


$\color{gray}{\small{\mbox{(I hope I didn't made errors in checking software)))}}}$

$\endgroup$
1
  • $\begingroup$ Nice. I only found 211 of these 232. I think I'll leave this open for the 5x5x5 question. $\endgroup$
    – Ed Pegg
    Nov 7 '13 at 16:18
1
$\begingroup$

See https://oeis.org/A280537 and https://oeis.org/A280538 for the 6 x 6 x 6 results. The maximum number of points in the 6x6x6 case is 16. There are 36 solutions; a list of coordinates is provided in https://oeis.org/A280538/a280538.txt. None of the solutions is symmetric.

$\endgroup$
1
  • $\begingroup$ So you're saying there are 36 distinct ways to pick 16 points from 6x6x6? Could you add that so it's an answer, and give an example of such a point set? $\endgroup$
    – Ed Pegg
    Jul 3 '19 at 19:56

Your Answer

By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service, privacy policy and cookie policy

Not the answer you're looking for? Browse other questions tagged or ask your own question.