Interpretation of higher order multivariate differential.

I'm having trouble with this definition of the higher order differential that I'm presented:

If $$f: U \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$$ is k-times continuously differentiable in a neighbourhood of $$x_0 \in U$$, then the differential of order k

$$d^{(k)}f(x_0):\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times ... \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$$

is explained as symmetric k-linear mapping through:

$$d^{(k)}f(x_0)(v_1,...,v_k) = \partial_{v_1},...,\partial_{v_k}f(x_0), (v_1,...,v_k \in \mathbb{R}^n)$$

The definition continues by providing examples for different orders:

$$d^{(1)}f(x_0)v = \partial_vf(x_0) = lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0) v^i$$ for $$v = \left( \begin{array}{c} v^1\\ \vdots\\ v^n\\ \end{array} \right) \in \mathbb{R}^n$$.

finally arriving at:

$$d^{(k)}f(x_0)(v_1,...,v_k) = \sum_{i_1,...,i_k = 1}^n \frac{\partial^kf(x_0)}{\partial x_{i1}...\partial x_{ik}} v_1^{(i_1)}...v_k^{(i_k)}$$ for $$v_i = \left( \begin{array}{c} v_i^1\\ \vdots\\ v_i^n\\ \end{array} \right), 1 \leq i \leq k$$.

Im confused by the very first definition, as I can't imagine what $$d^{(k)}f(x_0)(v_1,...,v_k)$$ is even aiming for. I know the following lines look like the directional derivatives for different $$v$$, but why would we bring them up in the definition of the higher order differential? Any explanation of the definition is highly appreciated. Also, I think an example (or a link to an example) would really help me.

• Maybe try yourself to apply this definition at least twice to a smooth function $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. What objection is the first derivative and what the second?! Commented Sep 23, 2019 at 21:48
• I of course meant *object :). Commented Sep 23, 2019 at 21:59
• @hal4math I tried it on paper, but I still don't understand the reason for which we define with vector $v_i$ which will only give a factor in the form of the entries of the vector. Same for a definition I'm reading in the same script on Taylor-Series, which is defined as: $f(x_0+v) = \sum_{j=o}^k \frac{1}{j!} d^{(j)}f(x_0) (v,...,v)$ (j-times) $+R_{k+1}(x_0,v)$. This definition also differs from the one I know from when I learned about this on my own which just defines: $T_{a,n}(x) = \sum_{|k|\leq n} \frac{D^k f (a) \cdot (x-a)^k}{k!}$ which I understand and have used on real tasks. Commented Sep 24, 2019 at 23:41
• I just think I'm missing some general point. Commented Sep 24, 2019 at 23:41
• These definition actually match up. What do you mean by "only give a factor in the form of the entries"? Also $|k|$. I think you mean $k$? Or is it a multi-index? Commented Sep 24, 2019 at 23:45

$$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$$ Nimm dir mal einen Vektoren (oder Richtung) $$v\in\R^2$$, und eine Abbildung $$f : \R^2 \to \R$$, die du gerne verstehen möchtest. Dann ist $$\nabla f : \R^2 \times \R^2 \to \R$$, warum? Weil einmal können die partiellen Ableitungen $$\frac{\partial}{\partial 1} f : \R^2 \to \R$$ und $$\frac{\partial}{\partial 2} f : \R^2 \to \R$$ an einem Punkt im $$\R^2$$ ausgewertet werden, z.B. am Punkt $$x_0 \in \R^2$$ und dann kann noch die lineare Abbildung $$\nabla f(x) : \R^2 \to \R$$. So das man Ende durch $$\nabla f(x) \cdot h = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial 1} f(x) & \frac{\partial}{\partial 2} f) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$$ in $$\R$$ landet. Nun kann ich solche Abbildung aber verschieden interpretieren und während $$\nabla f(x)$$ stets eine lineare Abbildung ist, muss $$\nabla f (\cdot) v :\R^2 \to \R$$ keine lineare Abbildung sein, sondern ist wieder eine neue Funktion! Lass und also setzen $$g(x) := \nabla f(x)v$$. Dann können wir wieder das Differential von $$g$$ berechnen und erhalten und in der gleichen Richtung $$v$$ auswerten: $$\nabla g(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial 1} g(x) & \frac{\partial}{\partial 2} g(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial 1} (\nabla f(x)v) & \frac{\partial}{\partial 2} (\nabla f(x)v). \end{pmatrix}$$ Wie du siehst ist $$\nabla g(x)$$ also auch eine lineare Abbildung von $$\R^2 \to \R$$, also können wir auch diese lineare Abbildung an $$v \in \R^2$$ auswerten: $$\nabla g(x) v$$ um wieder in $$\R$$ zu landen. Nun ist aber genauso wie oben $$\nabla g(\cdot) v : \R^2 \to \R$$ wieder eine ganz normale Funktion, die wir ableiten können. Setze also $$h(x) := \nabla g(x) v$$ und berechne $$\nabla h$$. Wie du nun siehst hast du dann $$\nabla h(x)v = \nabla (\nabla g(x)v) v = \nabla \Big(\nabla \big(\nabla f(x)v\big)v\Big)v$$ und wie du siehst braucht es 3 $$v$$s, um diese Abbildung nach $$\R$$ zu schicken. Nun ist natürlich diese Schreibweise da oben, alles andere als leserfreundlich und daher haben wir uns soetwas ausgedacht wie eine multilineare Abbildung, so dass ich auch schreiben kann: $$d^{(3)} f (x) (v,v,v) = \nabla \Big(\nabla \big(\nabla f(x)v\big)v\Big)v.$$