10
$\begingroup$

Q: What is the percentage of $n$ up to a bound $N$ such that, $$a^3+b^3+c^3 = n^3\tag1$$ has a solution in positive integers?

The sequence A023042 shows a large percentage. I have extended that to $N=10000$,

$$\begin{array}{|c|c|} \hline N&\text{%}\\ \hline 2000&85.8\text{%}\\ 4000&89.8\text{%}\\ 6000&92.1\text{%}\\ 8000&93.3\text{%}\\ 10000&94.2\text{%}\\ \hline \end{array}$$

This means that $94\text{%}$ of all positive integers $N<10000$ has a solution to $(1)$.

How high does the percentage go? From the trends, can one assume that it may reach $97,98,\,\text{or}\;99\text{%}$ if we go up the millions to $N=1000000$?

$\endgroup$
  • $\begingroup$ Naively, one would expect "roughly" $N^3$ different possible sums less than $N^3$, since you can choose $0, 1, \ldots, N-1$ for each of the three variables. Of course this back-of-the-envelope calculation ignores the fact that some integers can be written as a sum in more than one way. $\endgroup$ – user7530 Nov 11 '17 at 4:43
  • $\begingroup$ @user7530: Thanks. Also, if I may add, the reason for this question is that there two posts already (this and this) that singles out how perfect numbers are "special" in that their cubes can be expressed as sums of three positive cubes. But if given a relatively small bound it turns out that, say $99\,\text{%}$ of $N$ below that bound can be so expressed anyway, then it is not a property of its "perfectness" at all. $\endgroup$ – Tito Piezas III Nov 11 '17 at 6:16
  • $\begingroup$ Worth noting that the percentage of integers within the range 8001-10000 for which there exist solutions is already 97.8% ($[(10000 * 0.942)-(8000 * 0.933)] / 2000$). $\endgroup$ – Adam Bailey Nov 12 '17 at 14:12
  • $\begingroup$ @AdamBailey: Yes, it would be nice if someone with the programming skills can update the table a little higher. $\endgroup$ – Tito Piezas III Nov 12 '17 at 15:49
  • $\begingroup$ @RosieF: The focus on perfect numbers is by others, not mine. (In fact, I don't subscribe to this focus.) Kindly see the linked posts above by two different OPs. $\endgroup$ – Tito Piezas III Nov 13 '17 at 12:33
4
$\begingroup$

Based on Jarek Wroblewski's database of co-prime solutions of equation $$a^3+b^3+c^3=n^3\tag{1}$$ (thanks to link from this answer), statistics of numbers $n$ which cannot be written in the form $(1)$, is in the table:

\begin{array}{|l|l|l|} \hline range: 1 - N & cnt(N) & \% \\ \hline 1 - 10 & 8 & 80\% \\ 1 - 100 & 46 & 46\% \\ 1 - 1000 & 191 & 19.10\% \\ 1 - 10000 & 581 & 5.810\% \\ 1 - 100000 & 1192 & 1.192\% \\ 1 - 1000000 & 1867 & 0.186\% \\ \hline \end{array}

Empirically the $cnt(N)$ from this table can be described by rough evaluation: $$ cnt(N) \approx (2\cdot \log_{10}N)^3. $$

Talking about such $k$-digital numbers, we have:

\begin{array}{|l|c|l|l|} \hline k\mbox{-}digital & range & cnt & \% \\ \hline 1\mbox{-}digital & 1 - 9 & 8 & 88.889\% \\ 2\mbox{-}digital & 10 - 99 & 38 & 42.222\% \\ 3\mbox{-}digital & 100 - 999 & 145 & 16.111\% \\ 4\mbox{-}digital & 1000 - 9999 & 390 & 4.3333\% \\ 5\mbox{-}digital & 10000 - 99999 & 611 & 0.6789\% \\ 6\mbox{-}digital & 100000 - 999999 & 675 & 0.0750\% \\ \hline \end{array}

List of $6$-digital such numbers which have form $\overline{9*****}$:
$ 907517, 909911, 913487, 914237, 918463, 922073, 923713, 926183, 929981, 938257, 944701, 946549, 960037, 961853, 968021, 969011, 981947, 984563, 989783, 991961, 992219, 996671, 997727, 998813, 999959. $

Exhaustive list of these numbers which are $<1000000$:

1   
2   pr.
3   pr.
4   2^2
5   pr.
7   pr.
8   2^3
10  2 * 5
11  pr.
13  pr.
14  2 * 7
15  3 * 5
16  2^4
17  pr.
21  3 * 7
22  2 * 11
23  pr.
26  2 * 13
31  pr.
32  2^5
33  3 * 11
34  2 * 17
35  5 * 7
37  pr.
39  3 * 13
43  pr.
47  pr.
49  7^2
51  3 * 17
52  2^2 * 13
55  5 * 11
59  pr.
61  pr.
62  2 * 31
64  2^6
65  5 * 13
68  2^2 * 17
73  pr.
74  2 * 37
77  7 * 11
79  pr.
83  pr.
86  2 * 43
91  7 * 13
94  2 * 47
98  2 * 7^2
101 pr.
104 2^3 * 13
107 pr.
109 pr.
118 2 * 59
119 7 * 17
124 2^2 * 31
128 2^7
130 2 * 5 * 13
131 pr.
136 2^3 * 17
143 11 * 13
146 2 * 73
148 2^2 * 37
149 pr.
154 2 * 7 * 11
155 5 * 31
157 pr.
158 2 * 79
161 7 * 23
163 pr.
165 3 * 5 * 11
166 2 * 83
169 13^2
173 pr.
182 2 * 7 * 13
183 3 * 61
195 3 * 5 * 13
208 2^4 * 13
211 pr.
215 5 * 43
221 13 * 17
223 pr.
227 pr.
233 pr.
236 2^2 * 59
237 3 * 79
245 5 * 7^2
248 2^3 * 31
253 11 * 23
257 pr.
259 7 * 37
263 pr.
271 pr.
272 2^4 * 17
273 3 * 7 * 13
277 pr.
283 pr.
286 2 * 11 * 13
296 2^3 * 37
299 13 * 23
301 7 * 43
310 2 * 5 * 31
313 pr.
314 2 * 157
316 2^2 * 79
329 7 * 47
337 pr.
338 2 * 13^2
341 11 * 31
343 7^3
347 pr.
353 pr.
357 3 * 7 * 17
359 pr.
367 pr.
397 pr.
401 pr.
403 13 * 31
409 pr.
413 7 * 59
416 2^5 * 13
421 pr.
427 7 * 61
429 3 * 11 * 13
433 pr.
439 pr.
442 2 * 13 * 17
443 pr.
449 pr.
455 5 * 7 * 13
457 pr.
463 pr.
466 2 * 233
473 11 * 43
481 13 * 37
511 7 * 73
518 2 * 7 * 37
539 7^2 * 11
542 2 * 271
544 2^5 * 17
553 7 * 79
559 13 * 43
563 pr.
566 2 * 283
571 pr.
581 7 * 83
592 2^4 * 37
593 pr.
607 pr.
611 13 * 47
626 2 * 313
628 2^2 * 157
637 7^2 * 13
641 pr.
658 2 * 7 * 47
659 pr.
681 3 * 227
683 pr.
694 2 * 347
706 2 * 353
715 5 * 11 * 13
719 pr.
727 pr.
734 2 * 367
743 pr.
749 7 * 107
763 7 * 109
767 13 * 59
785 5 * 157
789 3 * 263
806 2 * 13 * 31
809 pr.
811 pr.
818 2 * 409
823 pr.
826 2 * 7 * 59
832 2^6 * 13
839 pr.
845 5 * 13^2
857 pr.
878 2 * 439
881 pr.
883 pr.
884 2^2 * 13 * 17
913 11 * 83
914 2 * 457
917 7 * 131
941 pr.
947 pr.
949 13 * 73
953 pr.
962 2 * 13 * 37
989 23 * 43
997 pr.
1001    7 * 11 * 13
1009    pr.
1021    pr.
1022    2 * 7 * 73
1027    13 * 79
1039    pr.
1055    5 * 211
1061    pr.
1078    2 * 7^2 * 11
1079    13 * 83
1081    23 * 47
1088    2^6 * 17
1091    pr.
1097    pr.
1106    2 * 7 * 79
1118    2 * 13 * 43
1127    7^2 * 23
1141    7 * 163
1147    31 * 37
1162    2 * 7 * 83
1163    pr.
1165    5 * 233
1171    pr.
1177    11 * 107
1183    7 * 13^2
1186    2 * 593
1201    pr.
1211    7 * 173
1213    pr.
1241    17 * 73
1252    2^2 * 313
1274    2 * 7^2 * 13
1277    pr.
1279    pr.
1283    pr.
1289    pr.
1315    5 * 263
1343    17 * 79
1357    23 * 59
1361    pr.
1366    2 * 683
1373    pr.
1381    pr.
1385    5 * 277
1389    3 * 463
1399    pr.
1411    17 * 83
1412    2^2 * 353
1417    13 * 109
1423    pr.
1438    2 * 719
1477    7 * 211
1483    pr.
1487    pr.
1499    pr.
1505    5 * 7 * 43
1531    pr.
1547    7 * 13 * 17
1561    7 * 223
1567    pr.
1570    2 * 5 * 157
1589    7 * 227
1597    pr.
1601    pr.
1627    pr.
1631    7 * 233
1637    pr.
1646    2 * 823
1659    3 * 7 * 79
1693    pr.
1699    pr.
1709    pr.
1717    17 * 101
1721    pr.
1727    11 * 157
1739    37 * 47
1762    2 * 881
1768    2^3 * 13 * 17
1771    7 * 11 * 23
1777    pr.
1813    7^2 * 37
1828    2^2 * 457
1835    5 * 367
1859    11 * 13^2
1891    31 * 61
1894    2 * 947
1897    7 * 271
1924    2^2 * 13 * 37
1933    pr.
1939    7 * 277
1994    2 * 997
1997    pr.
2002    2 * 7 * 11 * 13
2003    pr.
2005    5 * 401
2011    pr.
2015    5 * 13 * 31
2021    43 * 47
2039    pr.
2041    13 * 157
2054    2 * 13 * 79
2078    2 * 1039
2081    pr.
2093    7 * 13 * 23
2099    pr.
2107    7^2 * 43
2122    2 * 1061
2145    3 * 5 * 11 * 13
2158    2 * 13 * 83
2165    5 * 433
2183    37 * 59
2191    7 * 313
2197    13^3
2249    13 * 173
2251    pr.
2287    pr.
2294    2 * 31 * 37
2297    pr.
2303    7^2 * 47
2309    pr.
2315    5 * 463
2347    pr.
2351    pr.
2359    7 * 337
2366    2 * 7 * 13^2
2389    pr.
2429    7 * 347
2447    pr.
2471    7 * 353
2531    pr.
2551    pr.
2579    pr.
2633    pr.
2686    2 * 17 * 79
2707    pr.
2719    pr.
2729    pr.
2741    pr.
2743    13 * 211
2771    17 * 163
2798    2 * 1399
2801    pr.
2807    7 * 401
2819    pr.
2843    pr.
2846    2 * 1423
2859    3 * 953
2873    13^2 * 17
2876    2^2 * 719
2891    7^2 * 59
2899    13 * 223
2923    37 * 79
2927    pr.
2941    17 * 173
2947    7 * 421
2953    pr.
2965    5 * 593
2966    2 * 1483
2971    pr.
2989    7^2 * 61
3013    23 * 131
3029    13 * 233
3035    5 * 607
3062    2 * 1531
3079    pr.
3119    pr.
3131    31 * 101
3143    7 * 449
3185    5 * 7^2 * 13
3209    pr.
3221    pr.
3273    3 * 1091
3317    31 * 107
3319    pr.
3329    pr.
3341    13 * 257
3361    pr.
3367    7 * 13 * 37
3371    pr.
3386    2 * 1693
3419    13 * 263
3457    pr.
3478    2 * 37 * 47
3481    59^2
3523    13 * 271
3536    2^4 * 13 * 17
3554    2 * 1777
3559    pr.
3569    43 * 83
3581    pr.
3603    3 * 1201
3626    2 * 7^2 * 37
3631    pr.
3673    pr.
3679    13 * 283
3718    2 * 11 * 13^2
3737    37 * 101
3739    pr.
3749    23 * 163
3773    7^3 * 11
3779    pr.
3794    2 * 7 * 271
3803    pr.
3817    11 * 347
3848    2^3 * 13 * 37
3859    17 * 227
3871    7^2 * 79
3877    pr.
3887    13^2 * 23
3913    7 * 13 * 43
3929    pr.
3941    7 * 563
3943    pr.
3959    37 * 107
3988    2^2 * 997
3997    7 * 571
4022    2 * 2011
4027    pr.
4033    37 * 109
4037    11 * 367
4045    5 * 809
4069    13 * 313
4079    pr.
4108    2^2 * 13 * 79
4129    pr.
4133    pr.
4157    pr.
4198    2 * 2099
4211    pr.
4219    pr.
4243    pr.
4253    pr.
4277    7 * 13 * 47
4343    43 * 101
4366    2 * 37 * 59
4373    pr.
4394    2 * 13^3
4441    pr.
4451    pr.
4459    7^3 * 13
4502    2 * 2251
4549    pr.
4561    pr.
4583    pr.
4589    13 * 353
4591    pr.
4729    pr.
4751    pr.
4771    13 * 367
4811    17 * 283
4943    pr.
4999    pr.
5011    pr.
5029    47 * 107
5123    47 * 109
5127    3 * 1709
5147    pr.
5161    13 * 397
5189    pr.
5239    13^2 * 31
5243    7^2 * 107
5297    pr.
5317    13 * 409
5323    pr.
5341    7^2 * 109
5483    pr.
5501    pr.
5557    pr.
5563    pr.
5663    7 * 809
5677    7 * 811
5693    pr.
5701    pr.
5743    pr.
5759    13 * 443
5782    2 * 7^2 * 59
5809    37 * 157
5839    pr.
5897    pr.
5911    23 * 257
5915    5 * 7 * 13^2
5999    7 * 857
6031    37 * 163
6043    pr.
6053    pr.
6121    pr.
6167    7 * 881
6173    pr.
6241    79^2
6253    13^2 * 37
6323    pr.
6373    pr.
6407    43 * 149
6419    7^2 * 131
6442    2 * 3221
6509    23 * 283
6557    79 * 83
6629    7 * 947
6643    7 * 13 * 73
6671    7 * 953
6734    2 * 7 * 13 * 37
6761    pr.
6772    2^2 * 1693
6779    pr.
6827    pr.
6983    pr.
7009    43 * 163
7013    pr.
7046    2 * 13 * 271
7057    pr.
7063    7 * 1009
7072    2^5 * 13 * 17
7079    pr.
7109    pr.
7118    2 * 3559
7129    pr.
7189    7 * 13 * 79
7211    pr.
7309    pr.
7319    13 * 563
7358    2 * 13 * 283
7433    pr.
7451    pr.
7459    pr.
7463    17 * 439
7478    2 * 3739
7541    pr.
7553    7 * 13 * 83
7583    pr.
7633    17 * 449
7637    7 * 1091
7639    pr.
7655    5 * 1531
7679    7 * 1097
7696    2^4 * 13 * 37
7742    2 * 7^2 * 79
7751    23 * 337
7757    pr.
7858    2 * 3929
7889    7^3 * 23
7907    pr.
7943    13^2 * 47
7967    31 * 257
7987    7^2 * 163
8039    pr.
8111    pr.
8131    47 * 173
8173    11 * 743
8239    7 * 11 * 107
8258    2 * 4129
8273    pr.
8423    pr.
8438    2 * 4219
8465    5 * 1693
8477    7^2 * 173
8539    pr.
8573    pr.
8609    pr.
8621    37 * 233
8627    pr.
8647    pr.
8681    pr.
8687    7 * 17 * 73
8693    pr.
8732    2^2 * 37 * 59
8819    pr.
8879    13 * 683
8921    11 * 811
8951    pr.
8981    7 * 1283
9007    pr.
9023    7 * 1289
9041    pr.
9098    2 * 4549
9161    pr.
9223    23 * 401
9347    13 * 719
9397    pr.
9421    pr.
9509    37 * 257
9547    pr.
9563    73 * 131
9643    pr.
9781    pr.
9811    pr.
9871    pr.
9886    2 * 4943
9943    61 * 163
9949    pr.
9961    7 * 1423
10015   5 * 2003
10027   37 * 271
10079   pr.
10093   pr.
10249   37 * 277
10257   3 * 13 * 263
10267   pr.
10321   pr.
10391   pr.
10447   31 * 337
10478   2 * 13^2 * 31
10517   13 * 809
10543   13 * 811
10601   pr.
10634   2 * 13 * 409
10717   7 * 1531
10781   pr.
10853   pr.
10859   pr.
10889   pr.
10893   3 * 3631
10907   13 * 839
11114   2 * 5557
11141   13 * 857
11239   pr.
11279   pr.
11309   43 * 263
11389   7 * 1627
11402   2 * 5701
11411   pr.
11453   13 * 881
11618   2 * 37 * 157
11678   2 * 5839
11869   11 * 13 * 83
11945   5 * 2389
12101   pr.
12197   pr.
12211   pr.
12233   13 * 941
12235   5 * 2447
12239   pr.
12263   pr.
12281   pr.
12307   31 * 397
12311   13 * 947
12323   pr.
12346   2 * 6173
12367   83 * 149
12377   pr.
12397   7^2 * 11 * 23
12431   31 * 401
12506   2 * 13^2 * 37
12577   pr.
12601   pr.
12631   17 * 743
12671   pr.
12691   7^3 * 37
12757   pr.
12953   pr.
12961   13 * 997
13013   7 * 11 * 13^2
13114   2 * 79 * 83
13117   13 * 1009
13133   23 * 571
13217   pr.
13259   pr.
13273   13 * 1021
13283   37 * 359
13309   pr.
13327   pr.
13351   13^2 * 79
13367   pr.
13411   pr.
13459   43 * 313
13531   7 * 1933
13537   pr.
13573   7^2 * 277
13579   37 * 367
13667   79 * 173
13683   3 * 4561
13705   5 * 2741
13715   5 * 13 * 211
13759   pr.
13793   13 * 1061
13841   pr.
14029   pr.
14053   13 * 23 * 47
14143   pr.
14144   2^6 * 13 * 17
14147   7 * 43 * 47
14249   pr.
14251   pr.
14369   pr.
14378   2 * 7 * 13 * 79
14567   7 * 2081
14651   7^2 * 13 * 23
14689   37 * 397
14693   7 * 2099
14699   pr.
14749   7^3 * 43
14837   37 * 401
14911   13 * 31 * 37
15139   pr.
15337   7^2 * 313
15461   pr.
15467   pr.
15743   7 * 13 * 173
15923   pr.
16001   pr.
16121   7^3 * 47
16133   13 * 17 * 73
16187   pr.
16429   7 * 2347
16451   pr.
16457   7 * 2351
16513   7^2 * 337
16591   47 * 353
16627   13 * 1279
16679   13 * 1283
16729   pr.
16757   13 * 1289
17029   pr.
17041   pr.
17183   pr.
17203   pr.
17207   pr.
17243   43 * 401
17249   47 * 367
17297   7^2 * 353
17299   pr.
17357   17 * 1021
17359   pr.
17443   pr.
17459   13 * 17 * 79
17471   pr.
17473   101 * 173
17489   pr.
17581   pr.
17627   pr.
17641   13 * 23 * 59
17693   13 * 1361
17789   pr.
17849   13 * 1373
17953   13 * 1381
17971   pr.
18053   7 * 2579
18169   pr.
18251   pr.
18363   3 * 6121
18407   79 * 233
18443   pr.
18493   pr.
18499   13 * 1423
18797   pr.
18913   pr.
19013   pr.
19201   7 * 13 * 211
19213   pr.
19279   13 * 1483
19286   2 * 9643
19331   13 * 1487
19379   pr.
19583   pr.
19649   7^2 * 401
19697   pr.
19715   5 * 3943
19739   pr.
19801   pr.
19937   pr.
20183   pr.
20237   7^3 * 59
20293   7 * 13 * 223
20303   79 * 257
20323   pr.
20333   pr.
20489   7 * 2927
20549   pr.
20587   7 * 17 * 173
20593   pr.
20627   pr.
20719   pr.
20831   37 * 563
20923   7^3 * 61
21013   pr.
21089   pr.
21151   13 * 1627
21203   7 * 13 * 233
21281   13 * 1637
21347   pr.
21407   pr.
21409   79 * 271
21434   2 * 7 * 1531
21521   pr.
21739   pr.
21911   pr.
21937   pr.
21941   37 * 593
22087   13 * 1699
22277   pr.
22373   13 * 1721
22381   pr.
22387   61 * 367
22451   11 * 13 * 157
22541   pr.
22607   13 * 37 * 47
22721   pr.
22849   73 * 313
22906   2 * 13 * 881
23197   pr.
23369   pr.
23527   7 * 3361
23569   7^2 * 13 * 37
23597   7 * 3371
23633   pr.
23717   37 * 641
23741   pr.
24209   43 * 563
24239   pr.
24333   3 * 8111
24478   2 * 12239
24622   2 * 13 * 947
24649   157^2
24697   pr.
24767   pr.
24953   pr.
24995   5 * 4999
25117   pr.
25229   pr.
25269   3 * 8423
25271   37 * 683
25301   pr.
25309   pr.
25342   2 * 12671
25343   pr.
25391   pr.
25499   43 * 593
25847   pr.
25889   pr.
25901   59 * 439
25922   2 * 13 * 997
26026   2 * 7 * 11 * 13^2
26039   13 * 2003
26173   7 * 3739
26195   5 * 13^2 * 31
26273   13 * 43 * 47
26491   59 * 449
26621   7 * 3803
26683   pr.
26702   2 * 13^2 * 79
26717   pr.
26723   pr.
26822   2 * 13411
26853   3 * 8951
26891   pr.
26899   37 * 727
26917   11 * 2447
27023   61 * 443
27053   13 * 2081
27077   pr.
27097   7^3 * 79
27127   pr.
27149   17 * 1597
27209   7 * 13^2 * 23
27329   pr.
27337   pr.
27491   37 * 743
27563   43 * 641
27586   2 * 13 * 1061
27587   7^2 * 563
27601   7 * 3943
27773   pr.
27785   5 * 5557
27953   pr.
27997   pr.
28181   pr.
28315   5 * 7 * 809
28369   11 * 2579
28379   13 * 37 * 59
28483   7 * 13 * 313
28909   pr.
29171   31 * 941
29231   pr.
29237   13^2 * 173
29369   43 * 683
29477   7 * 4211
29611   pr.
29663   pr.
29759   pr.
29822   2 * 13 * 31 * 37
29837   pr.
30007   37 * 811
30017   13 * 2309
30341   pr.
30431   pr.
30493   pr.
31709   37 * 857
31793   pr.
31927   7 * 4561
32002   2 * 16001
32119   pr.
32123   7 * 13 * 353
32681   11 * 2971
32719   pr.
32839   pr.
32911   pr.
33113   pr.
33127   157 * 211
33353   pr.
33427   pr.
33458   2 * 16729
33589   pr.
33601   pr.
33667   131 * 257
33679   pr.
33821   31 * 1091
33911   pr.
34141   pr.
34421   pr.
34487   pr.
34543   pr.
34871   pr.
34877   pr.
34918   2 * 13 * 17 * 79
35039   37 * 947
35051   pr.
35077   7 * 5011
35149   pr.
35653   101 * 353
35659   13^2 * 211
35801   pr.
35861   7 * 47 * 109
35939   83 * 433
36493   pr.
36599   pr.
36637   pr.
36814   2 * 79 * 233
36959   13 * 2843
36986   2 * 18493
36998   2 * 13 * 1423
37349   13^3 * 17
37397   pr.
37421   23 * 1627
37447   pr.
37579   pr.
37687   13^2 * 223
37693   pr.
37969   43 * 883
37999   13 * 37 * 79
38219   pr.
38233   13 * 17 * 173
38237   pr.
38453   pr.
38821   pr.
38867   pr.
39229   pr.
39377   13^2 * 233
39587   31 * 1277
39641   7^2 * 809
40127   pr.
40201   7 * 5743
40349   157 * 257
40519   pr.
40646   2 * 20323
40973   pr.
41569   11 * 3779
41611   pr.
41717   13 * 3209
42371   7 * 6053
42409   pr.
42719   pr.
42979   pr.
43147   13 * 3319
43169   7^2 * 881
43321   pr.
43433   13^2 * 257
43687   7 * 79^2
43693   13 * 3361
43753   pr.
43759   pr.
43771   7 * 13^2 * 37
43783   pr.
43991   pr.
43997   pr.
44461   173 * 257
44491   pr.
44507   pr.
44533   pr.
44683   pr.
44777   pr.
44941   13 * 3457
45329   pr.
45389   pr.
45667   pr.
45799   13^2 * 271
45887   pr.
45943   pr.
46403   7^2 * 947
46483   23 * 43 * 47
46511   pr.
46633   pr.
46757   pr.
46957   pr.
47138   2 * 7^2 * 13 * 37
47221   pr.
47453   7 * 6779
47471   37 * 1283
47629   pr.
47749   13 * 3673
47827   13^2 * 283
47963   pr.
48109   pr.
48215   5 * 9643
48623   pr.
48649   pr.
48767   pr.
48809   pr.
49117   pr.
49813   109 * 457
50261   pr.
50401   13 * 3877
50423   pr.
50501   11 * 4591
50549   pr.
50602   2 * 25301
50923   pr.
51233   7 * 13 * 563
51259   13 * 3943
51335   5 * 10267
51347   pr.
51407   pr.
51427   pr.
51479   pr.
51643   43 * 1201
51713   pr.
51763   37 * 1399
51802   2 * 59 * 439
51844   2^2 * 13 * 997
52031   7 * 7433
52346   2 * 7 * 3739
52361   pr.
52973   pr.
53281   pr.
53299   pr.
53431   7 * 17 * 449
53441   pr.
53729   13 * 4133
53813   pr.
54091   pr.
54847   13 * 4219
56167   pr.
56179   pr.
56209   pr.
56281   23 * 2447
56393   pr.
56593   17 * 3329
56849   13 * 4373
57301   pr.
57671   101 * 571
57767   61 * 947
57863   13 * 4451
58109   pr.
58711   pr.
58979   pr.
59137   13 * 4549
59153   149 * 397
59203   73 * 811
59447   pr.
59651   pr.
59677   83 * 719
59771   pr.
60091   pr.
60107   pr.
60251   pr.
60427   pr.
61559   pr.
61657   pr.
61717   pr.
61879   pr.
62023   13^2 * 367
62071   pr.
62189   pr.
62341   31 * 2011
62477   pr.
62501   pr.
62657   7 * 8951
62753   pr.
63209   31 * 2039
63743   pr.
63773   pr.
64127   7 * 9161
64613   pr.
64747   pr.
64793   pr.
65063   pr.
65171   pr.
65678   2 * 32839
65687   pr.
65927   pr.
66499   pr.
66509   pr.
66599   13 * 47 * 109
66911   13 * 5147
67055   5 * 13411
67457   13 * 5189
68219   pr.
68281   pr.
68282   2 * 34141
68713   pr.
68813   pr.
68899   pr.
69121   13^2 * 409
69257   pr.
69539   pr.
69551   157 * 443
69809   pr.
69869   109 * 641
70189   7 * 37 * 271
70583   pr.
70651   7 * 10093
70709   pr.
70783   pr.
70937   pr.
71107   211 * 337
71279   13 * 5483
71537   pr.
71743   7 * 37 * 277
71821   pr.
72731   257 * 283
73019   pr.
73039   pr.
73079   pr.
73123   83 * 881
73849   pr.
74003   43 * 1721
74339   79 * 941
74453   pr.
74843   pr.
74887   pr.
75193   pr.
75209   pr.
75517   13 * 37 * 157
76013   7 * 10859
76469   47 * 1627
76661   13 * 5897
76667   pr.
77003   pr.
77339   pr.
77987   7 * 13 * 857
78121   pr.
79039   pr.
79337   pr.
79511   23 * 3457
79573   13 * 6121
79877   7 * 11411
79949   31 * 2579
80171   7 * 13 * 881
80527   pr.
81133   13 * 79^2
82757   pr.
83617   pr.
84737   pr.
84823   271 * 313
85037   pr.
85241   13 * 79 * 83
85871   43 * 1997
86177   7 * 13 * 947
86329   131 * 659
86639   7 * 12377
87181   pr.
87293   pr.
87506   2 * 43753
87542   2 * 7 * 13^2 * 37
87587   pr.
87677   43 * 2039
88241   pr.
88833   3 * 29611
89051   pr.
89561   pr.
91081   pr.
91169   13 * 7013
91741   13 * 7057
91819   7 * 13 * 1009
92467   pr.
92519   7 * 13217
92593   pr.
92677   13 * 7129
92857   pr.
93559   pr.
93859   47 * 1997
94879   79 * 1201
95063   pr.
95143   pr.
95191   pr.
95423   37 * 2579
95654   2 * 13^2 * 283
95663   271 * 353
95669   7 * 79 * 173
96119   277 * 347
96793   43 * 2251
97298   2 * 48649
97369   pr.
97813   pr.
97847   pr.
98123   pr.
98203   7 * 14029
98467   pr.
98627   pr.
98953   pr.
99307   13 * 7639
99431   pr.
99643   pr.
100159  37 * 2707
100469  pr.
100583  7 * 14369
100673  pr.
100813  73 * 1381
101063  pr.
101741  pr.
101969  7^2 * 2081
102061  pr.
102293  pr.
102481  pr.
102557  7^3 * 13 * 23
102893  7 * 14699
103135  5 * 20627
103393  pr.
103595  5 * 20719
103669  pr.
103681  pr.
103861  283 * 367
103979  pr.
104021  pr.
104087  pr.
104939  101 * 1039
105467  pr.
105943  pr.
105991  83 * 1277
106319  pr.
106739  pr.
106853  pr.
107549  13 * 8273
107963  107 * 1009
108182  2 * 54091
108289  pr.
108587  pr.
108767  23 * 4729
109831  pr.
109847  pr.
109859  pr.
110707  149 * 743
110753  pr.
111007  13 * 8539
111323  pr.
111431  pr.
111667  pr.
111917  13 * 8609
112237  pr.
112249  pr.
112601  pr.
112786  2 * 56393
112853  13 * 8681
112931  7 * 13 * 17 * 73
112967  pr.
113009  13 * 8693
113131  pr.
113383  pr.
113621  pr.
114113  pr.
114713  pr.
115003  7^2 * 2347
115021  pr.
115061  pr.
115601  pr.
115637  pr.
117422  2 * 58711
117463  101 * 1163
118033  pr.
118061  pr.
118757  pr.
118787  pr.
118967  pr.
120949  79 * 1531
121139  pr.
121557  3 * 40519
121679  271 * 449
122039  pr.
122231  pr.
122473  13 * 9421
123847  271 * 457
124067  pr.
124991  pr.
125353  pr.
125471  pr.
125659  pr.
126751  pr.
127241  pr.
128119  pr.
128323  13 * 9871
128551  pr.
128849  7 * 79 * 233
129493  7 * 13 * 1423
129509  pr.
130211  pr.
130351  13 * 37 * 271
130769  pr.
130927  pr.
131209  13 * 10093
131519  pr.
131843  31 * 4253
131959  pr.
132391  7 * 18913
132397  43 * 3079
132761  pr.
134177  pr.
134741  pr.
135257  pr.
135671  pr.
136483  pr.
136607  pr.
136663  17 * 8039
137081  7 * 19583
137849  pr.
138005  5 * 7 * 3943
138077  pr.
138283  pr.
138641  pr.
138889  pr.
139837  pr.
139861  pr.
140411  pr.
140537  313 * 449
140779  pr.
140951  59 * 2389
141709  pr.
142327  pr.
144779  pr.
145139  pr.
145259  pr.
145757  pr.
146627  13 * 11279
146921  pr.
147091  7 * 21013
149429  7 * 21347
149863  7 * 79 * 271
150041  pr.
150383  pr.
151157  pr.
152921  37 * 4133
153877  pr.
154493  pr.
154501  pr.
154613  pr.
154811  149 * 1039
154841  pr.
155783  pr.
156131  pr.
156227  pr.
156727  pr.
156817  pr.
157457  pr.
157679  pr.
158351  pr.
158497  353 * 449
158561  13 * 12197
158621  pr.
158743  13 * 12211
159107  13 * 12239
159419  13 * 12263
159421  pr.
159653  13 * 12281
160337  223 * 719
160423  pr.
162523  pr.
163019  pr.
163321  pr.
163529  43 * 3803
164291  pr.
164837  pr.
165001  pr.
165514  2 * 82757
166799  pr.
167429  pr.
167777  pr.
168293  pr.
169733  pr.
170531  31 * 5501
170647  pr.
171623  73 * 2351
171781  283 * 607
171821  13 * 13217
172199  pr.
173251  13 * 13327
173483  pr.
173671  pr.
174893  pr.
174973  37 * 4729
175159  107 * 1637
175229  pr.
176303  pr.
177007  pr.
177029  211 * 839
177883  pr.
178877  pr.
179309  13^2 * 1061
179933  13 * 13841
180331  pr.
181277  pr.
181997  pr.
182641  pr.
183847  157 * 1171
184199  pr.
184279  pr.
184963  37 * 4999
185437  7 * 59 * 449
186619  pr.
186797  13 * 14369
187027  pr.
188039  43 * 4373
188753  pr.
189371  7 * 13 * 2081
189539  7 * 27077
189851  pr.
190607  pr.
191063  17 * 11239
191087  13 * 14699
191509  pr.
193843  13^2 * 31 * 37
193883  pr.
197359  pr.
197767  pr.
198689  pr.
200579  pr.
200993  13 * 15461
201529  79 * 2551
201683  pr.
202121  pr.
202219  pr.
203257  439 * 463
204679  pr.
204751  pr.
204931  pr.
205531  47 * 4373
205763  pr.
206077  pr.
206177  pr.
206347  pr.
206477  pr.
206489  pr.
208667  pr.
208729  pr.
208877  pr.
210913  pr.
211213  pr.
212419  pr.
212767  263 * 809
213451  7 * 30493
213827  pr.
213863  13 * 16451
218081  pr.
218915  5 * 43783
218971  pr.
219953  pr.
221377  13 * 17029
221909  pr.
222029  pr.
222997  173 * 1289
223463  pr.
224027  pr.
224171  pr.
224861  7^2 * 13 * 353
224887  13 * 17299
225641  13 * 17 * 1021
225667  13 * 17359
226967  13^2 * 17 * 79
227147  pr.
227653  pr.
227693  pr.
228097  pr.
228359  pr.
230917  37 * 79^2
232559  313 * 743
232637  59 * 3943
232907  pr.
233951  37 * 6323
234809  pr.
234989  pr.
235007  pr.
235969  83 * 2843
237701  pr.
238331  pr.
240367  157 * 1531
240947  7 * 34421
241261  pr.
243847  59 * 4133
244139  7 * 34877
245257  pr.
245273  7 * 37 * 947
247343  pr.
249863  pr.
250259  pr.
251303  13^2 * 1487
251843  pr.
252911  pr.
253949  pr.
254291  pr.
255023  pr.
255167  11 * 23197
257707  pr.
258277  pr.
258407  pr.
258967  pr.
259099  pr.
259327  173 * 1499
262739  pr.
263611  pr.
263939  13 * 79 * 257
264139  pr.
265169  pr.
265483  pr.
265571  pr.
267143  pr.
267227  pr.
267709  13 * 20593
267913  pr.
268151  13 * 20627
268897  pr.
269921  47 * 5743
270514  2 * 135257
272069  7 * 38867
273169  13 * 21013
273289  pr.
273971  pr.
278317  13 * 79 * 271
279143  pr.
279773  13 * 21521
281783  pr.
283183  pr.
283511  pr.
285613  pr.
288007  pr.
288089  pr.
289381  pr.
290057  pr.
290471  pr.
292469  pr.
292549  pr.
295373  13 * 22721
297037  13 * 73 * 313
297727  pr.
298939  233 * 1283
302597  pr.
303247  7 * 43321
303869  277 * 1097
305851  7 * 13 * 3361
306377  pr.
307859  pr.
308573  pr.
309823  pr.
310081  pr.
310693  pr.
311407  pr.
311651  37 * 8423
312469  pr.
314711  pr.
316847  pr.
316861  pr.
318287  pr.
321313  pr.
321757  pr.
322319  pr.
322727  pr.
324559  59 * 5501
325471  271 * 1201
326521  13 * 25117
326941  pr.
327977  13 * 25229
328523  13 * 37 * 683
328913  13 * 25301
329471  pr.
330569  pr.
331213  pr.
331577  pr.
332887  pr.
333161  pr.
335029  pr.
335554  2 * 167777
336247  pr.
336353  pr.
336763  7 * 48109
338507  13^2 * 2003
338927  pr.
341333  pr.
341569  pr.
344653  pr.
344819  pr.
349927  pr.
352853  pr.
353411  pr.
356927  pr.
359627  107 * 3361
361033  pr.
361049  13 * 27773
363389  13 * 27953
363491  pr.
366461  pr.
368558  2 * 184279
368623  61 * 6043
368831  271 * 1361
369269  pr.
369487  pr.
373181  pr.
373441  37 * 10093
373669  pr.
374087  7 * 53441
374753  pr.
375997  pr.
376237  pr.
381214  2 * 190607
381797  13 * 43 * 683
382267  pr.
383627  pr.
385703  61 * 6323
385831  pr.
387799  pr.
388517  107 * 3631
388559  283 * 1373
389287  pr.
391753  pr.
392699  pr.
394249  pr.
398941  pr.
399433  pr.
399797  401 * 997
407177  pr.
409867  pr.
414629  pr.
415379  pr.
415741  31 * 13411
416639  401 * 1039
417557  7 * 59651
417691  pr.
418079  pr.
419609  pr.
420851  pr.
421757  7 * 60251
422029  pr.
423091  pr.
424129  pr.
425311  101 * 4211
426757  pr.
427513  pr.
428249  pr.
432737  pr.
433589  13 * 33353
435371  pr.
437011  pr.
439141  pr.
445331  223 * 1997
446129  pr.
450293  pr.
451433  107 * 4219
452701  pr.
453199  pr.
454823  pr.
457267  pr.
459523  pr.
467477  pr.
470039  pr.
471619  pr.
474127  pr.
474533  pr.
474823  457 * 1039
475469  pr.
476281  13 * 36637
478523  pr.
479189  pr.
480817  283 * 1699
482021  pr.
482051  pr.
483619  pr.
486161  13 * 37397
486341  pr.
486473  13 * 23 * 1627
486637  pr.
487727  pr.
489871  pr.
489931  13^3 * 223
490009  13 * 37693
492547  11 * 44777
493987  13^2 * 37 * 79
494771  61 * 8111
495481  7 * 70783
495619  pr.
496559  7 * 70937
496817  pr.
497081  13 * 38237
499487  367 * 1361
501569  83 * 6043
505051  pr.
505409  pr.
506213  pr.
506393  pr.
507797  pr.
507839  pr.
509879  pr.
509963  pr.
511591  pr.
512059  pr.
515093  149 * 3457
515611  pr.
517151  pr.
517217  pr.
517549  pr.
518207  pr.
519227  pr.
521399  pr.
522241  367 * 1423
524471  43 * 12197
527213  37 * 14249
529513  pr.
530303  pr.
531133  pr.
533543  pr.
534631  pr.
535849  pr.
543359  pr.
544139  pr.
544727  pr.
548201  pr.
554189  pr.
558727  13 * 42979
560233  pr.
560761  pr.
561197  7^2 * 13 * 881
566101  pr.
567751  pr.
567767  pr.
571031  pr.
571799  pr.
578929  13 * 44533
589261  79 * 7459
589277  13 * 45329
590057  13 * 45389
592307  pr.
596569  pr.
600109  pr.
601207  pr.
602873  pr.
603239  7^2 * 13 * 947
604643  13 * 46511
604861  pr.
608411  pr.
608989  pr.
609101  pr.
610429  pr.
617123  13 * 37 * 1283
619177  13 * 47629
623437  pr.
625253  pr.
625697  pr.
634517  13 * 48809
636071  pr.
636761  pr.
637409  pr.
638347  pr.
638801  pr.
639077  641 * 997
641747  pr.
645397  pr.
651251  pr.
655213  13^2 * 3877
655499  13 * 50423
655507  pr.
657826  2 * 13 * 25301
658871  pr.
659279  pr.
659759  pr.
660661  pr.
662063  pr.
662407  pr.
667663  449 * 1487
679741  pr.
684419  pr.
690793  pr.
691079  pr.
692887  13 * 53299
696671  173 * 4027
696809  pr.
698477  13^2 * 4133
701279  pr.
702077  pr.
713129  pr.
722521  pr.
722963  pr.
723161  pr.
729551  pr.
730717  13 * 56209
732217  pr.
732763  43 * 17041
733823  pr.
735101  367 * 2003
738313  pr.
739943  pr.
744913  13 * 57301
747223  pr.
752219  13^2 * 4451
752321  37 * 20333
757543  pr.
758707  pr.
760109  7 * 108587
763243  13 * 58711
765971  pr.
770111  pr.
771973  pr.
773023  pr.
777191  pr.
778201  pr.
778933  pr.
782849  pr.
788231  pr.
790331  pr.
792059  37 * 21407
794011  pr.
797347  79 * 10093
800447  pr.
803483  pr.
808457  13 * 62189
809231  pr.
810409  pr.
811273  pr.
811879  pr.
812057  pr.
819911  pr.
819989  pr.
820481  pr.
820837  pr.
823129  pr.
823619  pr.
824671  pr.
828659  13 * 63743
832757  pr.
839551  pr.
839969  13 * 64613
841711  13 * 64747
842309  13 * 64793
845371  pr.
845879  pr.
851821  pr.
860077  pr.
860513  pr.
860623  pr.
862061  pr.
863179  pr.
865511  pr.
875981  pr.
880939  pr.
887653  13 * 68281
893269  13 * 68713
895787  pr.
896479  pr.
897593  pr.
907517  13 * 69809
909911  pr.
913487  pr.
914237  pr.
918463  7 * 13 * 10093
922073  pr.
923713  7 * 131959
926183  pr.
929981  13 * 71537
938257  pr.
944701  pr.
946549  pr.
960037  13 * 73849
961853  pr.
968021  pr.
969011  pr.
981947  pr.
984563  pr.
989783  pr.
991961  pr.
992219  pr.
996671  13 * 76667
997727  pr.
998813  pr.
999959  pr.

Note: $1007$ of them are prime numbers.

And here is table which shows how many numbers of the list above are divisible by $p,p^2,p^3$ for first unsolvable primes $p$:

\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline p & \mbox{divisible by } p & ...\; p^2 & ...\;p^3 \\ \hline 2 & \color{blue}{177} & 41 & 22\\ 3 & 31 &-&-\\ 5 & \color{blue}{53} &-&-\\ 7 & \color{blue}{218} & 52 & 11 \\ 11 & 43 &-&-\\ 13 & \color{blue}{300} & 46 & 4 \\ 17 & 47 &-&-\\ 23 & 31 &-&-\\ 31 & 34 &-&-\\ 37 & \color{blue}{82} &-&-\\ 43 & 39 &-&-\\ 47 & 29 &-&-\\ 59 & 24 &1&-\\ 61 & 13 &-&-\\ 73 & 16 &-&-\\ 79 & 48 &4&-\\ \hline \end{array}

There are also $15$ $n$ div by $2^4$. (Hmm, note that factors $7$, $13$ occur often enough).

$\endgroup$
  • $\begingroup$ Beautiful! So for $N<1000000$, then $99.8\text{%}$ can be expressed as $a^3+b^3+c^3 = N^3$ How did you data-mine Jarek's table? (I used Mathematica and Excel which was a primitive way and got overflow for large ranges of $N$.) $\endgroup$ – Tito Piezas III Nov 13 '17 at 10:24
  • $\begingroup$ By the way, of the $25$ integers in your last paragraph, $19$ are prime, or more than $75\%$. $\endgroup$ – Tito Piezas III Nov 13 '17 at 11:14
  • 1
    $\begingroup$ @AdamBailey, I'll update answer with these numbers soon; the largest even $n<1000000$ of this list is $657826$ (few largest even numbers of this list: $270514, 335554, 368558, 381214, 657826$). $\endgroup$ – Oleg567 Nov 13 '17 at 14:27
  • 2
    $\begingroup$ @Oleg567: Thanks. I also extended your table. Hm, what is so special about the primes $2,5,7,13,37,79$ with reference to cubes? $\endgroup$ – Tito Piezas III Nov 14 '17 at 3:41
  • 2
    $\begingroup$ I've asked that question in this MO post. $\endgroup$ – Tito Piezas III Nov 14 '17 at 4:48

Your Answer

By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service, privacy policy and cookie policy

Not the answer you're looking for? Browse other questions tagged or ask your own question.