$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x+4}$=$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x^2})}}{x+4}$=$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}{x+4}$.
When $ x\longrightarrow\propto $ $\Rightarrow$ $\frac{4}{x^2}$$\longrightarrow$ 0 .
The above integral then takes the form:
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+4}$=$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x(1+\frac{4}{x})}$.=$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{4}{x}}$.
When $ x\longrightarrow\propto $ $\Rightarrow$ $\frac{4}{x}$$\longrightarrow$ 0 .
Now the above integral then takes the form:
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{4}{x}}$=$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1+0}$=1.
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x+4}$=1