# Prove that there exists infinitely many pairs of relatively prime integers $(a,b)$.

Prove that there exists infinitely many pairs of relatively prime integers $(a,b)$ such that both the quadratic equations $$x^2+ax+b=0$$ $$x^2+2ax+b=0$$ has integer roots.

I tried the following:
$a^2-4b=n^2$ and $a^2-b=m^2$

Eliminating $b$ from both we get

$3a^2=(2m+n)(2m-n)$

from here we get that $3a^2$ should have two factors whose sum is divisible by $4$. From here we can get the $b$ but the problem is both numbers should be relatively prime.

• Can you please give the source of the problem – Shivam Patel Jan 10 '15 at 17:22
• @Shivam Patel Indian National Mathematical Olympiad-1995 – Satvik Mashkaria Jan 10 '15 at 17:39
• The title of the question is somewhat misleading. – Alexander Shamov Jan 11 '15 at 21:01

You want $$3a^2 - 4 m^2 = -n^2.$$ Suppose you have a single such expression, $a=1,m=1,n=1,$ call it $(a,m) = (1,1).$ You get infinitely many such expressions, with the same fixed value of $m,$ by repeating the mapping $$(a,m) \mapsto (7a+8m, 6a+7m).$$ So, we have $(a,m)$ pairs $$(1, 1)$$ $$(15, 13)$$ $$(209, 181)$$ $$(2911, 2521)$$ $$(40545, 35113)$$

We also get separate recursions for the $(a,m)$ components, $$a_{j+2} = 14 a_{j+1} - a_j,$$ $$m_{j+2} = 14 m_{j+1} - m_j.$$ This is just the Cayley-Hamilton theorem. Similarly, the mapping preserves GCD, because $$\left( \begin{array}{rr} 7 & 8 \\ 6 & 7 \end{array} \right)$$ is of integers and determinant $1,$ that is, its inverse is also of integer entries. Back to Cayley-Hamilton, what is the characteristic polynomial for this matrix?

• I was able to sketch this thing .Thus I asked for the source . Its an high school level olmpiad ! So I am afraid Cayley Hamilton won't be expected to be used – Shivam Patel Jan 11 '15 at 2:41
• @ShivamPatel, of course. But the mapping given is valid, easily confirmed by hand for a high schools student, and takes positive solution pairs to larger integer pairs, hence an infinite set. Other quadratic form methods I have would be less acceptable still. – Will Jagy Jan 11 '15 at 3:14
• @ShivamPatel, I found the problem with the complete school level answer, here: math.stackexchange.com/questions/1082645/… It is a little different as it includes things like $x^2 + 5 y^2 + z^2$ or $x^2 + 13 y^2 = z^2$ rather than $x^2 + 3 y^2 = 4 z^2.$ – Will Jagy Jan 11 '15 at 4:32
• @WillJagy wouldn't have thought to use the Cayley-Hamilton theorem to prove this,although it seems obvious when you put it that way! Connections in mathematics show up in the most unexpected places. – Mathemagician1234 Jan 11 '15 at 21:34

Meanwhile, given integers $g,h,$ with $\gcd(g,h)=1.$ such that $g$ is not divisible by $3$ and one of $g,h$ is even and the other odd, we get a primitive solution with $$n = -g^2 - 6gh+3h^2,$$ $$a = g^2 - 2gh - 3h^2,$$ $$m = g^2 + 3 h^2.$$

These may not be all solutions to $n^2 + 3 a^2 = 4 m^2,$ the method is tricky. You can take the absolute values of the numbers in any case. Solutions that may be different come from this sort of thing: take $g = 3 \gamma,$ now all $n,a,m$ are divisible by $3,$ just divide through by $3.$ The other variant is to take both $g,h$ odd, now all $n,a,m$ are even, just divide through by $2,$ or, if necessary, by $4.$

Sunday: maybe the best way to say it is this: the possible values are $$\gcd(n,a,m) \in \{ 1, 3, 4, 12. \}$$ To get all triples, use the recipe above with $\gcd(g,h)=1$ but forget about my other restrictions, and divide through by the gcd. Oh, and use absolute value signs, although that will lead to a certain degree of repetition.

Below is what happens with actual numbers, lots of repetition:

    m              a            n                 g        h
1 a:          0 n:          2 gcd 12 g:      3 h:      1
1 a:          0 n:          2 gcd  4 g:      1 h:     -1
1 a:          1 n:          1 gcd 12 g:      3 h:     -1
1 a:          1 n:          1 gcd  1 g:      1 h:      0
1 a:          1 n:          1 gcd  3 g:      0 h:      1
1 a:          1 n:          1 gcd  3 g:      0 h:     -1
1 a:          1 n:          1 gcd  4 g:      1 h:      1
7 a:          3 n:         13 gcd 12 g:      3 h:     -5
7 a:          3 n:         13 gcd  1 g:      2 h:      1
7 a:          3 n:         13 gcd  3 g:      3 h:     -2
7 a:          3 n:         13 gcd  4 g:      5 h:      1
7 a:          5 n:         11 gcd 12 g:      9 h:      1
7 a:          5 n:         11 gcd  1 g:      2 h:     -1
7 a:          5 n:         11 gcd  3 g:      3 h:      2
7 a:          5 n:         11 gcd  4 g:      1 h:     -3
7 a:          8 n:          2 gcd 12 g:      3 h:      5
7 a:          8 n:          2 gcd 12 g:      9 h:     -1
7 a:          8 n:          2 gcd  4 g:      1 h:      3
7 a:          8 n:          2 gcd  4 g:      5 h:     -1
13 a:         15 n:          1 gcd 12 g:      3 h:      7
13 a:         15 n:          1 gcd  1 g:      1 h:      2
13 a:         15 n:          1 gcd  3 g:      6 h:     -1
13 a:         15 n:          1 gcd  4 g:      7 h:     -1
13 a:          7 n:         23 gcd 12 g:      9 h:      5
13 a:          7 n:         23 gcd  1 g:      1 h:     -2
13 a:          7 n:         23 gcd  3 g:      6 h:      1
13 a:          7 n:         23 gcd  4 g:      5 h:     -3
13 a:          8 n:         22 gcd 12 g:      3 h:     -7
13 a:          8 n:         22 gcd 12 g:      9 h:     -5
13 a:          8 n:         22 gcd  4 g:      5 h:      3
13 a:          8 n:         22 gcd  4 g:      7 h:      1
19 a:         16 n:         26 gcd 12 g:     15 h:      1
19 a:         16 n:         26 gcd 12 g:      9 h:      7
19 a:         16 n:         26 gcd  4 g:      1 h:     -5
19 a:         16 n:         26 gcd  4 g:      7 h:     -3
19 a:         21 n:         11 gcd 12 g:     15 h:     -1
19 a:         21 n:         11 gcd  1 g:      4 h:     -1
19 a:         21 n:         11 gcd  3 g:      3 h:      4
19 a:         21 n:         11 gcd  4 g:      1 h:      5
19 a:          5 n:         37 gcd 12 g:      9 h:     -7
19 a:          5 n:         37 gcd  1 g:      4 h:      1
19 a:          5 n:         37 gcd  3 g:      3 h:     -4
19 a:          5 n:         37 gcd  4 g:      7 h:      3
31 a:         11 n:         59 gcd 12 g:     15 h:      7
31 a:         11 n:         59 gcd  1 g:      2 h:     -3
31 a:         11 n:         59 gcd  3 g:      9 h:      2
31 a:         11 n:         59 gcd  4 g:      7 h:     -5
31 a:         24 n:         46 gcd 12 g:     15 h:     -7
31 a:         24 n:         46 gcd 12 g:      3 h:    -11
31 a:         24 n:         46 gcd  4 g:     11 h:      1
31 a:         24 n:         46 gcd  4 g:      7 h:      5
31 a:         35 n:         13 gcd 12 g:      3 h:     11
31 a:         35 n:         13 gcd  1 g:      2 h:      3
31 a:         35 n:         13 gcd  3 g:      9 h:     -2
31 a:         35 n:         13 gcd  4 g:     11 h:     -1
37 a:         33 n:         47 gcd 12 g:     21 h:      1
37 a:         33 n:         47 gcd  1 g:      5 h:     -2
37 a:         33 n:         47 gcd  3 g:      6 h:      5
37 a:         33 n:         47 gcd  4 g:      1 h:     -7
37 a:         40 n:         26 gcd 12 g:     21 h:     -1
37 a:         40 n:         26 gcd 12 g:      9 h:     11
37 a:         40 n:         26 gcd  4 g:     11 h:     -3
37 a:         40 n:         26 gcd  4 g:      1 h:      7
37 a:          7 n:         73 gcd 12 g:      9 h:    -11
37 a:          7 n:         73 gcd  1 g:      5 h:      2
37 a:          7 n:         73 gcd  3 g:      6 h:     -5
37 a:          7 n:         73 gcd  4 g:     11 h:      3
43 a:         13 n:         83 gcd 12 g:     21 h:      5
43 a:         13 n:         83 gcd  1 g:      4 h:     -3
43 a:         13 n:         83 gcd  3 g:      9 h:      4
43 a:         13 n:         83 gcd  4 g:      5 h:     -7
43 a:         35 n:         61 gcd 12 g:      3 h:    -13
43 a:         35 n:         61 gcd  1 g:      4 h:      3
43 a:         35 n:         61 gcd  3 g:      9 h:     -4
43 a:         35 n:         61 gcd  4 g:     13 h:      1
43 a:         48 n:         22 gcd 12 g:     21 h:     -5
43 a:         48 n:         22 gcd 12 g:      3 h:     13
43 a:         48 n:         22 gcd  4 g:     13 h:     -1
43 a:         48 n:         22 gcd  4 g:      5 h:      7
49 a:         16 n:         94 gcd 12 g:     15 h:    -11
49 a:         16 n:         94 gcd 12 g:      9 h:    -13
49 a:         16 n:         94 gcd  4 g:     11 h:      5
49 a:         16 n:         94 gcd  4 g:     13 h:      3
49 a:         39 n:         71 gcd 12 g:     15 h:     11
49 a:         39 n:         71 gcd  1 g:      1 h:     -4
49 a:         39 n:         71 gcd  3 g:     12 h:      1
49 a:         39 n:         71 gcd  4 g:     11 h:     -5
49 a:         55 n:         23 gcd 12 g:      9 h:     13
49 a:         55 n:         23 gcd  1 g:      1 h:      4
49 a:         55 n:         23 gcd  3 g:     12 h:     -1
49 a:         55 n:         23 gcd  4 g:     13 h:     -3
61 a:         56 n:         74 gcd 12 g:     15 h:     13
61 a:         56 n:         74 gcd 12 g:     27 h:      1
61 a:         56 n:         74 gcd  4 g:     13 h:     -5
61 a:         56 n:         74 gcd  4 g:      1 h:     -9
61 a:         65 n:         47 gcd 12 g:     27 h:     -1
61 a:         65 n:         47 gcd  1 g:      7 h:     -2
61 a:         65 n:         47 gcd  3 g:      6 h:      7
61 a:         65 n:         47 gcd  4 g:      1 h:      9
61 a:          9 n:        121 gcd 12 g:     15 h:    -13
61 a:          9 n:        121 gcd  1 g:      7 h:      2
61 a:          9 n:        121 gcd  3 g:      6 h:     -7
61 a:          9 n:        121 gcd  4 g:     13 h:      5
67 a:         32 n:        122 gcd 12 g:     21 h:     11
67 a:         32 n:        122 gcd 12 g:     27 h:      5
67 a:         32 n:        122 gcd  4 g:     11 h:     -7
67 a:         32 n:        122 gcd  4 g:      5 h:     -9
67 a:         45 n:        109 gcd 12 g:     21 h:    -11
67 a:         45 n:        109 gcd  1 g:      8 h:      1
67 a:         45 n:        109 gcd  3 g:      3 h:     -8
67 a:         45 n:        109 gcd  4 g:     11 h:      7
67 a:         77 n:         13 gcd 12 g:     27 h:     -5
67 a:         77 n:         13 gcd  1 g:      8 h:     -1
67 a:         77 n:         13 gcd  3 g:      3 h:      8
67 a:         77 n:         13 gcd  4 g:      5 h:      9
73 a:         17 n:        143 gcd 12 g:     27 h:      7
73 a:         17 n:        143 gcd  1 g:      5 h:     -4
73 a:         17 n:        143 gcd  3 g:     12 h:      5
73 a:         17 n:        143 gcd  4 g:      7 h:     -9
73 a:         63 n:         97 gcd 12 g:      3 h:    -17
73 a:         63 n:         97 gcd  1 g:      5 h:      4
73 a:         63 n:         97 gcd  3 g:     12 h:     -5
73 a:         63 n:         97 gcd  4 g:     17 h:      1
73 a:         80 n:         46 gcd 12 g:     27 h:     -7
73 a:         80 n:         46 gcd 12 g:      3 h:     17
73 a:         80 n:         46 gcd  4 g:     17 h:     -1
73 a:         80 n:         46 gcd  4 g:      7 h:      9
79 a:         40 n:        142 gcd 12 g:     21 h:    -13
79 a:         40 n:        142 gcd 12 g:      9 h:    -17
79 a:         40 n:        142 gcd  4 g:     13 h:      7
79 a:         40 n:        142 gcd  4 g:     17 h:      3
79 a:         51 n:        131 gcd 12 g:     21 h:     13
79 a:         51 n:        131 gcd  1 g:      2 h:     -5
79 a:         51 n:        131 gcd  3 g:     15 h:      2
79 a:         51 n:        131 gcd  4 g:     13 h:     -7
79 a:         91 n:         11 gcd 12 g:      9 h:     17
79 a:         91 n:         11 gcd  1 g:      2 h:      5
79 a:         91 n:         11 gcd  3 g:     15 h:     -2
79 a:         91 n:         11 gcd  4 g:     17 h:     -3
91 a:         11 n:        181 gcd 12 g:     15 h:    -17
91 a:         11 n:        181 gcd  1 g:      8 h:      3
91 a:         11 n:        181 gcd  3 g:      9 h:     -8
91 a:         11 n:        181 gcd  4 g:     17 h:      5
91 a:         19 n:        179 gcd 12 g:     27 h:     11
91 a:         19 n:        179 gcd  1 g:      4 h:     -5
91 a:         19 n:        179 gcd  3 g:     15 h:      4
91 a:         19 n:        179 gcd  4 g:     11 h:     -9
91 a:         80 n:        118 gcd 12 g:     27 h:    -11
91 a:         80 n:        118 gcd 12 g:      3 h:    -19
91 a:         80 n:        118 gcd  4 g:     11 h:      9
91 a:         80 n:        118 gcd  4 g:     19 h:      1
91 a:         85 n:        107 gcd 12 g:     33 h:      1
91 a:         85 n:        107 gcd  1 g:      8 h:     -3
91 a:         85 n:        107 gcd  3 g:      9 h:      8
91 a:         85 n:        107 gcd  4 g:      1 h:    -11
91 a:         96 n:         74 gcd 12 g:     15 h:     17
91 a:         96 n:         74 gcd 12 g:     33 h:     -1
91 a:         96 n:         74 gcd  4 g:     17 h:     -5
91 a:         96 n:         74 gcd  4 g:      1 h:     11
91 a:         99 n:         61 gcd 12 g:      3 h:     19
91 a:         99 n:         61 gcd  1 g:      4 h:      5
91 a:         99 n:         61 gcd  3 g:     15 h:     -4
91 a:         99 n:         61 gcd  4 g:     19 h:     -1
97 a:        112 n:          2 gcd 12 g:     33 h:     -5
97 a:        112 n:          2 gcd 12 g:      9 h:     19
97 a:        112 n:          2 gcd  4 g:     19 h:     -3
97 a:        112 n:          2 gcd  4 g:      5 h:     11
97 a:         55 n:        169 gcd 12 g:      9 h:    -19
97 a:         55 n:        169 gcd  1 g:      7 h:      4
97 a:         55 n:        169 gcd  3 g:     12 h:     -7
97 a:         55 n:        169 gcd  4 g:     19 h:      3
97 a:         57 n:        167 gcd 12 g:     33 h:      5
97 a:         57 n:        167 gcd  1 g:      7 h:     -4
97 a:         57 n:        167 gcd  3 g:     12 h:      7
97 a:         57 n:        167 gcd  4 g:      5 h:    -11
103 a:        117 n:         37 gcd 12 g:     33 h:     -7
103 a:        117 n:         37 gcd  1 g:     10 h:     -1
103 a:        117 n:         37 gcd  3 g:      3 h:     10
103 a:        117 n:         37 gcd  4 g:      7 h:     11
103 a:         40 n:        194 gcd 12 g:     27 h:     13
103 a:         40 n:        194 gcd 12 g:     33 h:      7
103 a:         40 n:        194 gcd  4 g:     13 h:     -9
103 a:         40 n:        194 gcd  4 g:      7 h:    -11
103 a:         77 n:        157 gcd 12 g:     27 h:    -13
103 a:         77 n:        157 gcd  1 g:     10 h:      1
103 a:         77 n:        157 gcd  3 g:      3 h:    -10
103 a:         77 n:        157 gcd  4 g:     13 h:      9
109 a:        119 n:         71 gcd 12 g:     15 h:     19
109 a:        119 n:         71 gcd  1 g:      1 h:      6
109 a:        119 n:         71 gcd  3 g:     18 h:     -1
109 a:        119 n:         71 gcd  4 g:     19 h:     -5
109 a:         24 n:        214 gcd 12 g:     15 h:    -19
109 a:         24 n:        214 gcd 12 g:     21 h:    -17
109 a:         24 n:        214 gcd  4 g:     17 h:      7
109 a:         24 n:        214 gcd  4 g:     19 h:      5
109 a:         95 n:        143 gcd 12 g:     21 h:     17
109 a:         95 n:        143 gcd  1 g:      1 h:     -6
109 a:         95 n:        143 gcd  3 g:     18 h:      1
109 a:         95 n:        143 gcd  4 g:     17 h:     -7
127 a:        120 n:        146 gcd 12 g:     21 h:     19
127 a:        120 n:        146 gcd 12 g:     39 h:      1
127 a:        120 n:        146 gcd  4 g:     19 h:     -7
127 a:        120 n:        146 gcd  4 g:      1 h:    -13
127 a:        133 n:        107 gcd 12 g:     39 h:     -1
127 a:        133 n:        107 gcd  1 g:     10 h:     -3
127 a:        133 n:        107 gcd  3 g:      9 h:     10
127 a:        133 n:        107 gcd  4 g:      1 h:     13
127 a:         13 n:        253 gcd 12 g:     21 h:    -19
127 a:         13 n:        253 gcd  1 g:     10 h:      3
127 a:         13 n:        253 gcd  3 g:      9 h:    -10
127 a:         13 n:        253 gcd  4 g:     19 h:      7
133 a:        120 n:        166 gcd 12 g:     33 h:    -13
133 a:        120 n:        166 gcd 12 g:      3 h:    -23
133 a:        120 n:        166 gcd  4 g:     13 h:     11
133 a:        120 n:        166 gcd  4 g:     23 h:      1
133 a:        143 n:         97 gcd 12 g:      3 h:     23
133 a:        143 n:         97 gcd  1 g:      5 h:      6
133 a:        143 n:         97 gcd  3 g:     18 h:     -5
133 a:        143 n:         97 gcd  4 g:     23 h:     -1
133 a:        153 n:         23 gcd 12 g:     39 h:     -5
133 a:        153 n:         23 gcd  1 g:     11 h:     -2
133 a:        153 n:         23 gcd  3 g:      6 h:     11
133 a:        153 n:         23 gcd  4 g:      5 h:     13
133 a:         23 n:        263 gcd 12 g:     33 h:     13
133 a:         23 n:        263 gcd  1 g:      5 h:     -6
133 a:         23 n:        263 gcd  3 g:     18 h:      5
133 a:         23 n:        263 gcd  4 g:     13 h:    -11
133 a:         65 n:        241 gcd 12 g:     27 h:    -17
133 a:         65 n:        241 gcd  1 g:     11 h:      2
133 a:         65 n:        241 gcd  3 g:      6 h:    -11
133 a:         65 n:        241 gcd  4 g:     17 h:      9
133 a:         88 n:        218 gcd 12 g:     27 h:     17
133 a:         88 n:        218 gcd 12 g:     39 h:      5
133 a:         88 n:        218 gcd  4 g:     17 h:     -9
133 a:         88 n:        218 gcd  4 g:      5 h:    -13
m              a            n                  g        h


Worked out how to make two recipes and ignore gcd after calculations. The first recipe is in the earl;ier answer, take $\gcd(g,h) = 1,$ then $g,h$ not both odd, then $g$ not divisible by $3.$

The other recipe is $\gcd(u,v)=1,$ then $u+v$ not divisible by $3,$ recipes $$n = -u^2 -2uv +2v^2,$$ $$a = -u^2 +2uv ,$$ $$n = u^2 -uv +v^2.$$

Put them together, we always get $\gcd(n,a,m) = 1,$ and up to $13 \cdot 19 = 247,$

    m             a            n
1 a:          0 n:          2 gcd  1 u:      0 v:      1
1 a:          0 n:          2 gcd  1 u:      0 v:     -1
1 a:          1 n:          1 gcd  1 g:      1 h:      0
1 a:          1 n:          1 gcd  1 u:      1 v:      0
1 a:          1 n:          1 gcd  1 u:      1 v:      1
7 a:          3 n:         13 gcd  1 g:      2 h:      1
7 a:          3 n:         13 gcd  1 u:      3 v:      1
7 a:          3 n:         13 gcd  1 u:      3 v:      2
7 a:          5 n:         11 gcd  1 g:      2 h:     -1
7 a:          5 n:         11 gcd  1 u:      1 v:     -2
7 a:          5 n:         11 gcd  1 u:      1 v:      3
7 a:          8 n:          2 gcd  1 u:      2 v:     -1
7 a:          8 n:          2 gcd  1 u:      2 v:      3
13 a:         15 n:          1 gcd  1 g:      1 h:      2
13 a:         15 n:          1 gcd  1 u:      3 v:     -1
13 a:         15 n:          1 gcd  1 u:      3 v:      4
13 a:          7 n:         23 gcd  1 g:      1 h:     -2
13 a:          7 n:         23 gcd  1 u:      1 v:     -3
13 a:          7 n:         23 gcd  1 u:      1 v:      4
13 a:          8 n:         22 gcd  1 u:      4 v:      1
13 a:          8 n:         22 gcd  1 u:      4 v:      3
19 a:         16 n:         26 gcd  1 u:      2 v:     -3
19 a:         16 n:         26 gcd  1 u:      2 v:      5
19 a:         21 n:         11 gcd  1 g:      4 h:     -1
19 a:         21 n:         11 gcd  1 u:      3 v:     -2
19 a:         21 n:         11 gcd  1 u:      3 v:      5
19 a:          5 n:         37 gcd  1 g:      4 h:      1
19 a:          5 n:         37 gcd  1 u:      5 v:      2
19 a:          5 n:         37 gcd  1 u:      5 v:      3
31 a:         11 n:         59 gcd  1 g:      2 h:     -3
31 a:         11 n:         59 gcd  1 u:      1 v:     -5
31 a:         11 n:         59 gcd  1 u:      1 v:      6
31 a:         24 n:         46 gcd  1 u:      6 v:      1
31 a:         24 n:         46 gcd  1 u:      6 v:      5
31 a:         35 n:         13 gcd  1 g:      2 h:      3
31 a:         35 n:         13 gcd  1 u:      5 v:     -1
31 a:         35 n:         13 gcd  1 u:      5 v:      6
37 a:         33 n:         47 gcd  1 g:      5 h:     -2
37 a:         33 n:         47 gcd  1 u:      3 v:     -4
37 a:         33 n:         47 gcd  1 u:      3 v:      7
37 a:         40 n:         26 gcd  1 u:      4 v:     -3
37 a:         40 n:         26 gcd  1 u:      4 v:      7
37 a:          7 n:         73 gcd  1 g:      5 h:      2
37 a:          7 n:         73 gcd  1 u:      7 v:      3
37 a:          7 n:         73 gcd  1 u:      7 v:      4
43 a:         13 n:         83 gcd  1 g:      4 h:     -3
43 a:         13 n:         83 gcd  1 u:      1 v:     -6
43 a:         13 n:         83 gcd  1 u:      1 v:      7
43 a:         35 n:         61 gcd  1 g:      4 h:      3
43 a:         35 n:         61 gcd  1 u:      7 v:      1
43 a:         35 n:         61 gcd  1 u:      7 v:      6
43 a:         48 n:         22 gcd  1 u:      6 v:     -1
43 a:         48 n:         22 gcd  1 u:      6 v:      7
49 a:         16 n:         94 gcd  1 u:      8 v:      3
49 a:         16 n:         94 gcd  1 u:      8 v:      5
49 a:         39 n:         71 gcd  1 g:      1 h:     -4
49 a:         39 n:         71 gcd  1 u:      3 v:     -5
49 a:         39 n:         71 gcd  1 u:      3 v:      8
49 a:         55 n:         23 gcd  1 g:      1 h:      4
49 a:         55 n:         23 gcd  1 u:      5 v:     -3
49 a:         55 n:         23 gcd  1 u:      5 v:      8
61 a:         56 n:         74 gcd  1 u:      4 v:     -5
61 a:         56 n:         74 gcd  1 u:      4 v:      9
61 a:         65 n:         47 gcd  1 g:      7 h:     -2
61 a:         65 n:         47 gcd  1 u:      5 v:     -4
61 a:         65 n:         47 gcd  1 u:      5 v:      9
61 a:          9 n:        121 gcd  1 g:      7 h:      2
61 a:          9 n:        121 gcd  1 u:      9 v:      4
61 a:          9 n:        121 gcd  1 u:      9 v:      5
67 a:         32 n:        122 gcd  1 u:      2 v:     -7
67 a:         32 n:        122 gcd  1 u:      2 v:      9
67 a:         45 n:        109 gcd  1 g:      8 h:      1
67 a:         45 n:        109 gcd  1 u:      9 v:      2
67 a:         45 n:        109 gcd  1 u:      9 v:      7
67 a:         77 n:         13 gcd  1 g:      8 h:     -1
67 a:         77 n:         13 gcd  1 u:      7 v:     -2
67 a:         77 n:         13 gcd  1 u:      7 v:      9
73 a:         17 n:        143 gcd  1 g:      5 h:     -4
73 a:         17 n:        143 gcd  1 u:      1 v:     -8
73 a:         17 n:        143 gcd  1 u:      1 v:      9
73 a:         63 n:         97 gcd  1 g:      5 h:      4
73 a:         63 n:         97 gcd  1 u:      9 v:      1
73 a:         63 n:         97 gcd  1 u:      9 v:      8
73 a:         80 n:         46 gcd  1 u:      8 v:     -1
73 a:         80 n:         46 gcd  1 u:      8 v:      9
79 a:         40 n:        142 gcd  1 u:     10 v:      3
79 a:         40 n:        142 gcd  1 u:     10 v:      7
79 a:         51 n:        131 gcd  1 g:      2 h:     -5
79 a:         51 n:        131 gcd  1 u:      3 v:     10
79 a:         51 n:        131 gcd  1 u:      3 v:     -7
79 a:         91 n:         11 gcd  1 g:      2 h:      5
79 a:         91 n:         11 gcd  1 u:      7 v:     10
79 a:         91 n:         11 gcd  1 u:      7 v:     -3
91 a:         11 n:        181 gcd  1 g:      8 h:      3
91 a:         11 n:        181 gcd  1 u:     11 v:      5
91 a:         11 n:        181 gcd  1 u:     11 v:      6
91 a:         19 n:        179 gcd  1 g:      4 h:     -5
91 a:         19 n:        179 gcd  1 u:      1 v:     10
91 a:         19 n:        179 gcd  1 u:      1 v:     -9
91 a:         80 n:        118 gcd  1 u:     10 v:      1
91 a:         80 n:        118 gcd  1 u:     10 v:      9
91 a:         85 n:        107 gcd  1 g:      8 h:     -3
91 a:         85 n:        107 gcd  1 u:      5 v:     11
91 a:         85 n:        107 gcd  1 u:      5 v:     -6
91 a:         96 n:         74 gcd  1 u:      6 v:     11
91 a:         96 n:         74 gcd  1 u:      6 v:     -5
91 a:         99 n:         61 gcd  1 g:      4 h:      5
91 a:         99 n:         61 gcd  1 u:      9 v:     -1
91 a:         99 n:         61 gcd  1 u:      9 v:     10
97 a:        112 n:          2 gcd  1 u:      8 v:     11
97 a:        112 n:          2 gcd  1 u:      8 v:     -3
97 a:         55 n:        169 gcd  1 g:      7 h:      4
97 a:         55 n:        169 gcd  1 u:     11 v:      3
97 a:         55 n:        169 gcd  1 u:     11 v:      8
97 a:         57 n:        167 gcd  1 g:      7 h:     -4
97 a:         57 n:        167 gcd  1 u:      3 v:     11
97 a:         57 n:        167 gcd  1 u:      3 v:     -8
103 a:        117 n:         37 gcd  1 g:     10 h:     -1
103 a:        117 n:         37 gcd  1 u:      9 v:     11
103 a:        117 n:         37 gcd  1 u:      9 v:     -2
103 a:         40 n:        194 gcd  1 u:      2 v:     11
103 a:         40 n:        194 gcd  1 u:      2 v:     -9
103 a:         77 n:        157 gcd  1 g:     10 h:      1
103 a:         77 n:        157 gcd  1 u:     11 v:      2
103 a:         77 n:        157 gcd  1 u:     11 v:      9
109 a:        119 n:         71 gcd  1 g:      1 h:      6
109 a:        119 n:         71 gcd  1 u:      7 v:     12
109 a:        119 n:         71 gcd  1 u:      7 v:     -5
109 a:         24 n:        214 gcd  1 u:     12 v:      5
109 a:         24 n:        214 gcd  1 u:     12 v:      7
109 a:         95 n:        143 gcd  1 g:      1 h:     -6
109 a:         95 n:        143 gcd  1 u:      5 v:     12
109 a:         95 n:        143 gcd  1 u:      5 v:     -7
127 a:        120 n:        146 gcd  1 u:      6 v:     13
127 a:        120 n:        146 gcd  1 u:      6 v:     -7
127 a:        133 n:        107 gcd  1 g:     10 h:     -3
127 a:        133 n:        107 gcd  1 u:      7 v:     13
127 a:        133 n:        107 gcd  1 u:      7 v:     -6
127 a:         13 n:        253 gcd  1 g:     10 h:      3
127 a:         13 n:        253 gcd  1 u:     13 v:      6
127 a:         13 n:        253 gcd  1 u:     13 v:      7
133 a:        120 n:        166 gcd  1 u:     12 v:      1
133 a:        120 n:        166 gcd  1 u:     12 v:     11
133 a:        143 n:         97 gcd  1 g:      5 h:      6
133 a:        143 n:         97 gcd  1 u:     11 v:     -1
133 a:        143 n:         97 gcd  1 u:     11 v:     12
133 a:        153 n:         23 gcd  1 g:     11 h:     -2
133 a:        153 n:         23 gcd  1 u:      9 v:     13
133 a:        153 n:         23 gcd  1 u:      9 v:     -4
133 a:         23 n:        263 gcd  1 g:      5 h:     -6
133 a:         23 n:        263 gcd  1 u:      1 v:    -11
133 a:         23 n:        263 gcd  1 u:      1 v:     12
133 a:         65 n:        241 gcd  1 g:     11 h:      2
133 a:         65 n:        241 gcd  1 u:     13 v:      4
133 a:         65 n:        241 gcd  1 u:     13 v:      9
133 a:         88 n:        218 gcd  1 u:      4 v:     13
133 a:         88 n:        218 gcd  1 u:      4 v:     -9
139 a:        160 n:         22 gcd  1 u:     10 v:     13
139 a:        160 n:         22 gcd  1 u:     10 v:     -3
139 a:         69 n:        251 gcd  1 g:      8 h:     -5
139 a:         69 n:        251 gcd  1 u:      3 v:    -10
139 a:         69 n:        251 gcd  1 u:      3 v:     13
139 a:         91 n:        229 gcd  1 g:      8 h:      5
139 a:         91 n:        229 gcd  1 u:     13 v:     10
139 a:         91 n:        229 gcd  1 u:     13 v:      3
151 a:        115 n:        227 gcd  1 g:      2 h:     -7
151 a:        115 n:        227 gcd  1 u:      5 v:     14
151 a:        115 n:        227 gcd  1 u:      5 v:     -9
151 a:        171 n:         59 gcd  1 g:      2 h:      7
151 a:        171 n:         59 gcd  1 u:      9 v:     14
151 a:        171 n:         59 gcd  1 u:      9 v:     -5
151 a:         56 n:        286 gcd  1 u:     14 v:      5
151 a:         56 n:        286 gcd  1 u:     14 v:      9
157 a:        143 n:        193 gcd  1 g:      7 h:      6
157 a:        143 n:        193 gcd  1 u:     13 v:      1
157 a:        143 n:        193 gcd  1 u:     13 v:     12
157 a:        168 n:        118 gcd  1 u:     12 v:     -1
157 a:        168 n:        118 gcd  1 u:     12 v:     13
157 a:         25 n:        311 gcd  1 g:      7 h:     -6
157 a:         25 n:        311 gcd  1 u:      1 v:    -12
157 a:         25 n:        311 gcd  1 u:      1 v:     13
163 a:        112 n:        262 gcd  1 u:     14 v:     11
163 a:        112 n:        262 gcd  1 u:     14 v:      3
163 a:        187 n:         37 gcd  1 g:      4 h:      7
163 a:        187 n:         37 gcd  1 u:     11 v:     14
163 a:        187 n:         37 gcd  1 u:     11 v:     -3
163 a:         75 n:        299 gcd  1 g:      4 h:     -7
163 a:         75 n:        299 gcd  1 u:      3 v:    -11
163 a:         75 n:        299 gcd  1 u:      3 v:     14
169 a:         15 n:        337 gcd  1 g:     11 h:      4
169 a:         15 n:        337 gcd  1 u:     15 v:      7
169 a:         15 n:        337 gcd  1 u:     15 v:      8
169 a:        161 n:        191 gcd  1 g:     11 h:     -4
169 a:        161 n:        191 gcd  1 u:      7 v:     15
169 a:        161 n:        191 gcd  1 u:      7 v:     -8
169 a:        176 n:        146 gcd  1 u:      8 v:     15
169 a:        176 n:        146 gcd  1 u:      8 v:     -7
181 a:        104 n:        314 gcd  1 u:      4 v:    -11
181 a:        104 n:        314 gcd  1 u:      4 v:     15
181 a:        105 n:        313 gcd  1 g:     13 h:      2
181 a:        105 n:        313 gcd  1 u:     15 v:     11
181 a:        105 n:        313 gcd  1 u:     15 v:      4
181 a:        209 n:          1 gcd  1 g:     13 h:     -2
181 a:        209 n:          1 gcd  1 u:     11 v:     15
181 a:        209 n:          1 gcd  1 u:     11 v:     -4
193 a:        175 n:        239 gcd  1 g:      1 h:     -8
193 a:        175 n:        239 gcd  1 u:      7 v:     16
193 a:        175 n:        239 gcd  1 u:      7 v:     -9
193 a:        207 n:        143 gcd  1 g:      1 h:      8
193 a:        207 n:        143 gcd  1 u:      9 v:     16
193 a:        207 n:        143 gcd  1 u:      9 v:     -7
193 a:         32 n:        382 gcd  1 u:     16 v:      7
193 a:         32 n:        382 gcd  1 u:     16 v:      9
199 a:        165 n:        277 gcd  1 g:     14 h:      1
199 a:        165 n:        277 gcd  1 u:     15 v:     13
199 a:        165 n:        277 gcd  1 u:     15 v:      2
199 a:        221 n:        109 gcd  1 g:     14 h:     -1
199 a:        221 n:        109 gcd  1 u:     13 v:     15
199 a:        221 n:        109 gcd  1 u:     13 v:     -2
199 a:         56 n:        386 gcd  1 u:      2 v:    -13
199 a:         56 n:        386 gcd  1 u:      2 v:     15
211 a:        195 n:        253 gcd  1 g:      8 h:      7
211 a:        195 n:        253 gcd  1 u:     15 v:      1
211 a:        195 n:        253 gcd  1 u:     15 v:     14
211 a:        224 n:        166 gcd  1 u:     14 v:     -1
211 a:        224 n:        166 gcd  1 u:     14 v:     15
211 a:         29 n:        419 gcd  1 g:      8 h:     -7
211 a:         29 n:        419 gcd  1 u:      1 v:    -14
211 a:         29 n:        419 gcd  1 u:      1 v:     15
217 a:        160 n:        334 gcd  1 u:     16 v:     13
217 a:        160 n:        334 gcd  1 u:     16 v:      3
217 a:         17 n:        433 gcd  1 g:     13 h:      4
217 a:         17 n:        433 gcd  1 u:     17 v:      8
217 a:         17 n:        433 gcd  1 u:     17 v:      9
217 a:        208 n:        242 gcd  1 u:      8 v:     17
217 a:        208 n:        242 gcd  1 u:      8 v:     -9
217 a:        225 n:        191 gcd  1 g:     13 h:     -4
217 a:        225 n:        191 gcd  1 u:      9 v:     17
217 a:        225 n:        191 gcd  1 u:      9 v:     -8
217 a:        247 n:         73 gcd  1 g:      5 h:      8
217 a:        247 n:         73 gcd  1 u:     13 v:     16
217 a:        247 n:         73 gcd  1 u:     13 v:     -3
217 a:         87 n:        407 gcd  1 g:      5 h:     -8
217 a:         87 n:        407 gcd  1 u:      3 v:    -13
217 a:         87 n:        407 gcd  1 u:      3 v:     16
223 a:        168 n:        338 gcd  1 u:      6 v:    -11
223 a:        168 n:        338 gcd  1 u:      6 v:     17
223 a:        253 n:         83 gcd  1 g:     14 h:     -3
223 a:        253 n:         83 gcd  1 u:     11 v:     17
223 a:        253 n:         83 gcd  1 u:     11 v:     -6
223 a:         85 n:        421 gcd  1 g:     14 h:      3
223 a:         85 n:        421 gcd  1 u:     17 v:     11
223 a:         85 n:        421 gcd  1 u:     17 v:      6
229 a:        119 n:        409 gcd  1 g:     11 h:      6
229 a:        119 n:        409 gcd  1 u:     17 v:     12
229 a:        119 n:        409 gcd  1 u:     17 v:      5
229 a:        145 n:        383 gcd  1 g:     11 h:     -6
229 a:        145 n:        383 gcd  1 u:      5 v:    -12
229 a:        145 n:        383 gcd  1 u:      5 v:     17
229 a:        264 n:         26 gcd  1 u:     12 v:     17
229 a:        264 n:         26 gcd  1 u:     12 v:     -5
241 a:        224 n:        286 gcd  1 u:     16 v:      1
241 a:        224 n:        286 gcd  1 u:     16 v:     15
241 a:        255 n:        193 gcd  1 g:      7 h:      8
241 a:        255 n:        193 gcd  1 u:     15 v:     -1
241 a:        255 n:        193 gcd  1 u:     15 v:     16
241 a:         31 n:        479 gcd  1 g:      7 h:     -8
241 a:         31 n:        479 gcd  1 u:      1 v:    -15
241 a:         31 n:        479 gcd  1 u:      1 v:     16
247 a:        187 n:        373 gcd  1 g:     10 h:      7
247 a:        187 n:        373 gcd  1 u:     17 v:     14
247 a:        187 n:        373 gcd  1 u:     17 v:      3
247 a:        203 n:        347 gcd  1 g:      2 h:     -9
247 a:        203 n:        347 gcd  1 u:      7 v:    -11
247 a:        203 n:        347 gcd  1 u:      7 v:     18
247 a:        275 n:        131 gcd  1 g:      2 h:      9
247 a:        275 n:        131 gcd  1 u:     11 v:     18
247 a:        275 n:        131 gcd  1 u:     11 v:     -7
247 a:        280 n:         94 gcd  1 u:     14 v:     17
247 a:        280 n:         94 gcd  1 u:     14 v:     -3
247 a:         72 n:        478 gcd  1 u:     18 v:     11
247 a:         72 n:        478 gcd  1 u:     18 v:      7
247 a:         93 n:        467 gcd  1 g:     10 h:     -7
247 a:         93 n:        467 gcd  1 u:      3 v:    -14
247 a:         93 n:        467 gcd  1 u:      3 v:     17
m             a            n