4
$\begingroup$

Prove that there exists infinitely many pairs of relatively prime integers $(a,b)$ such that both the quadratic equations $$x^2+ax+b=0$$ $$ x^2+2ax+b=0$$ has integer roots.

I tried the following:
$a^2-4b=n^2$ and $a^2-b=m^2$

Eliminating $b$ from both we get

$3a^2=(2m+n)(2m-n)$

from here we get that $3a^2$ should have two factors whose sum is divisible by $4$. From here we can get the $b$ but the problem is both numbers should be relatively prime.

$\endgroup$
  • $\begingroup$ Can you please give the source of the problem $\endgroup$ – Shivam Patel Jan 10 '15 at 17:22
  • $\begingroup$ @Shivam Patel Indian National Mathematical Olympiad-1995 $\endgroup$ – Satvik Mashkaria Jan 10 '15 at 17:39
  • 3
    $\begingroup$ The title of the question is somewhat misleading. $\endgroup$ – Alexander Shamov Jan 11 '15 at 21:01
2
$\begingroup$

You want $$ 3a^2 - 4 m^2 = -n^2. $$ Suppose you have a single such expression, $a=1,m=1,n=1,$ call it $(a,m) = (1,1).$ You get infinitely many such expressions, with the same fixed value of $m,$ by repeating the mapping $$ (a,m) \mapsto (7a+8m, 6a+7m). $$ So, we have $(a,m)$ pairs $$ (1, 1) $$ $$ (15, 13) $$ $$ (209, 181) $$ $$ (2911, 2521) $$ $$ (40545, 35113) $$

We also get separate recursions for the $(a,m)$ components, $$ a_{j+2} = 14 a_{j+1} - a_j, $$ $$ m_{j+2} = 14 m_{j+1} - m_j. $$ This is just the Cayley-Hamilton theorem. Similarly, the mapping preserves GCD, because $$ \left( \begin{array}{rr} 7 & 8 \\ 6 & 7 \end{array} \right) $$ is of integers and determinant $1,$ that is, its inverse is also of integer entries. Back to Cayley-Hamilton, what is the characteristic polynomial for this matrix?

$\endgroup$
  • $\begingroup$ I was able to sketch this thing .Thus I asked for the source . Its an high school level olmpiad ! So I am afraid Cayley Hamilton won't be expected to be used $\endgroup$ – Shivam Patel Jan 11 '15 at 2:41
  • 3
    $\begingroup$ @ShivamPatel, of course. But the mapping given is valid, easily confirmed by hand for a high schools student, and takes positive solution pairs to larger integer pairs, hence an infinite set. Other quadratic form methods I have would be less acceptable still. $\endgroup$ – Will Jagy Jan 11 '15 at 3:14
  • $\begingroup$ @ShivamPatel, I found the problem with the complete school level answer, here: math.stackexchange.com/questions/1082645/… It is a little different as it includes things like $x^2 + 5 y^2 + z^2$ or $x^2 + 13 y^2 = z^2$ rather than $x^2 + 3 y^2 = 4 z^2.$ $\endgroup$ – Will Jagy Jan 11 '15 at 4:32
  • $\begingroup$ @WillJagy wouldn't have thought to use the Cayley-Hamilton theorem to prove this,although it seems obvious when you put it that way! Connections in mathematics show up in the most unexpected places. $\endgroup$ – Mathemagician1234 Jan 11 '15 at 21:34
0
$\begingroup$

Meanwhile, given integers $g,h,$ with $\gcd(g,h)=1.$ such that $g$ is not divisible by $3$ and one of $g,h$ is even and the other odd, we get a primitive solution with $$ n = -g^2 - 6gh+3h^2, $$ $$ a = g^2 - 2gh - 3h^2, $$ $$ m = g^2 + 3 h^2. $$

These may not be all solutions to $n^2 + 3 a^2 = 4 m^2,$ the method is tricky. You can take the absolute values of the numbers in any case. Solutions that may be different come from this sort of thing: take $g = 3 \gamma,$ now all $n,a,m$ are divisible by $3,$ just divide through by $3.$ The other variant is to take both $g,h$ odd, now all $n,a,m$ are even, just divide through by $2,$ or, if necessary, by $4.$

Sunday: maybe the best way to say it is this: the possible values are $$ \gcd(n,a,m) \in \{ 1, 3, 4, 12. \} $$ To get all triples, use the recipe above with $\gcd(g,h)=1$ but forget about my other restrictions, and divide through by the gcd. Oh, and use absolute value signs, although that will lead to a certain degree of repetition.

Below is what happens with actual numbers, lots of repetition:

    m              a            n                 g        h
     1 a:          0 n:          2 gcd 12 g:      3 h:      1
     1 a:          0 n:          2 gcd  4 g:      1 h:     -1
     1 a:          1 n:          1 gcd 12 g:      3 h:     -1
     1 a:          1 n:          1 gcd  1 g:      1 h:      0
     1 a:          1 n:          1 gcd  3 g:      0 h:      1
     1 a:          1 n:          1 gcd  3 g:      0 h:     -1
     1 a:          1 n:          1 gcd  4 g:      1 h:      1
     7 a:          3 n:         13 gcd 12 g:      3 h:     -5
     7 a:          3 n:         13 gcd  1 g:      2 h:      1
     7 a:          3 n:         13 gcd  3 g:      3 h:     -2
     7 a:          3 n:         13 gcd  4 g:      5 h:      1
     7 a:          5 n:         11 gcd 12 g:      9 h:      1
     7 a:          5 n:         11 gcd  1 g:      2 h:     -1
     7 a:          5 n:         11 gcd  3 g:      3 h:      2
     7 a:          5 n:         11 gcd  4 g:      1 h:     -3
     7 a:          8 n:          2 gcd 12 g:      3 h:      5
     7 a:          8 n:          2 gcd 12 g:      9 h:     -1
     7 a:          8 n:          2 gcd  4 g:      1 h:      3
     7 a:          8 n:          2 gcd  4 g:      5 h:     -1
    13 a:         15 n:          1 gcd 12 g:      3 h:      7
    13 a:         15 n:          1 gcd  1 g:      1 h:      2
    13 a:         15 n:          1 gcd  3 g:      6 h:     -1
    13 a:         15 n:          1 gcd  4 g:      7 h:     -1
    13 a:          7 n:         23 gcd 12 g:      9 h:      5
    13 a:          7 n:         23 gcd  1 g:      1 h:     -2
    13 a:          7 n:         23 gcd  3 g:      6 h:      1
    13 a:          7 n:         23 gcd  4 g:      5 h:     -3
    13 a:          8 n:         22 gcd 12 g:      3 h:     -7
    13 a:          8 n:         22 gcd 12 g:      9 h:     -5
    13 a:          8 n:         22 gcd  4 g:      5 h:      3
    13 a:          8 n:         22 gcd  4 g:      7 h:      1
    19 a:         16 n:         26 gcd 12 g:     15 h:      1
    19 a:         16 n:         26 gcd 12 g:      9 h:      7
    19 a:         16 n:         26 gcd  4 g:      1 h:     -5
    19 a:         16 n:         26 gcd  4 g:      7 h:     -3
    19 a:         21 n:         11 gcd 12 g:     15 h:     -1
    19 a:         21 n:         11 gcd  1 g:      4 h:     -1
    19 a:         21 n:         11 gcd  3 g:      3 h:      4
    19 a:         21 n:         11 gcd  4 g:      1 h:      5
    19 a:          5 n:         37 gcd 12 g:      9 h:     -7
    19 a:          5 n:         37 gcd  1 g:      4 h:      1
    19 a:          5 n:         37 gcd  3 g:      3 h:     -4
    19 a:          5 n:         37 gcd  4 g:      7 h:      3
    31 a:         11 n:         59 gcd 12 g:     15 h:      7
    31 a:         11 n:         59 gcd  1 g:      2 h:     -3
    31 a:         11 n:         59 gcd  3 g:      9 h:      2
    31 a:         11 n:         59 gcd  4 g:      7 h:     -5
    31 a:         24 n:         46 gcd 12 g:     15 h:     -7
    31 a:         24 n:         46 gcd 12 g:      3 h:    -11
    31 a:         24 n:         46 gcd  4 g:     11 h:      1
    31 a:         24 n:         46 gcd  4 g:      7 h:      5
    31 a:         35 n:         13 gcd 12 g:      3 h:     11
    31 a:         35 n:         13 gcd  1 g:      2 h:      3
    31 a:         35 n:         13 gcd  3 g:      9 h:     -2
    31 a:         35 n:         13 gcd  4 g:     11 h:     -1
    37 a:         33 n:         47 gcd 12 g:     21 h:      1
    37 a:         33 n:         47 gcd  1 g:      5 h:     -2
    37 a:         33 n:         47 gcd  3 g:      6 h:      5
    37 a:         33 n:         47 gcd  4 g:      1 h:     -7
    37 a:         40 n:         26 gcd 12 g:     21 h:     -1
    37 a:         40 n:         26 gcd 12 g:      9 h:     11
    37 a:         40 n:         26 gcd  4 g:     11 h:     -3
    37 a:         40 n:         26 gcd  4 g:      1 h:      7
    37 a:          7 n:         73 gcd 12 g:      9 h:    -11
    37 a:          7 n:         73 gcd  1 g:      5 h:      2
    37 a:          7 n:         73 gcd  3 g:      6 h:     -5
    37 a:          7 n:         73 gcd  4 g:     11 h:      3
    43 a:         13 n:         83 gcd 12 g:     21 h:      5
    43 a:         13 n:         83 gcd  1 g:      4 h:     -3
    43 a:         13 n:         83 gcd  3 g:      9 h:      4
    43 a:         13 n:         83 gcd  4 g:      5 h:     -7
    43 a:         35 n:         61 gcd 12 g:      3 h:    -13
    43 a:         35 n:         61 gcd  1 g:      4 h:      3
    43 a:         35 n:         61 gcd  3 g:      9 h:     -4
    43 a:         35 n:         61 gcd  4 g:     13 h:      1
    43 a:         48 n:         22 gcd 12 g:     21 h:     -5
    43 a:         48 n:         22 gcd 12 g:      3 h:     13
    43 a:         48 n:         22 gcd  4 g:     13 h:     -1
    43 a:         48 n:         22 gcd  4 g:      5 h:      7
    49 a:         16 n:         94 gcd 12 g:     15 h:    -11
    49 a:         16 n:         94 gcd 12 g:      9 h:    -13
    49 a:         16 n:         94 gcd  4 g:     11 h:      5
    49 a:         16 n:         94 gcd  4 g:     13 h:      3
    49 a:         39 n:         71 gcd 12 g:     15 h:     11
    49 a:         39 n:         71 gcd  1 g:      1 h:     -4
    49 a:         39 n:         71 gcd  3 g:     12 h:      1
    49 a:         39 n:         71 gcd  4 g:     11 h:     -5
    49 a:         55 n:         23 gcd 12 g:      9 h:     13
    49 a:         55 n:         23 gcd  1 g:      1 h:      4
    49 a:         55 n:         23 gcd  3 g:     12 h:     -1
    49 a:         55 n:         23 gcd  4 g:     13 h:     -3
    61 a:         56 n:         74 gcd 12 g:     15 h:     13
    61 a:         56 n:         74 gcd 12 g:     27 h:      1
    61 a:         56 n:         74 gcd  4 g:     13 h:     -5
    61 a:         56 n:         74 gcd  4 g:      1 h:     -9
    61 a:         65 n:         47 gcd 12 g:     27 h:     -1
    61 a:         65 n:         47 gcd  1 g:      7 h:     -2
    61 a:         65 n:         47 gcd  3 g:      6 h:      7
    61 a:         65 n:         47 gcd  4 g:      1 h:      9
    61 a:          9 n:        121 gcd 12 g:     15 h:    -13
    61 a:          9 n:        121 gcd  1 g:      7 h:      2
    61 a:          9 n:        121 gcd  3 g:      6 h:     -7
    61 a:          9 n:        121 gcd  4 g:     13 h:      5
    67 a:         32 n:        122 gcd 12 g:     21 h:     11
    67 a:         32 n:        122 gcd 12 g:     27 h:      5
    67 a:         32 n:        122 gcd  4 g:     11 h:     -7
    67 a:         32 n:        122 gcd  4 g:      5 h:     -9
    67 a:         45 n:        109 gcd 12 g:     21 h:    -11
    67 a:         45 n:        109 gcd  1 g:      8 h:      1
    67 a:         45 n:        109 gcd  3 g:      3 h:     -8
    67 a:         45 n:        109 gcd  4 g:     11 h:      7
    67 a:         77 n:         13 gcd 12 g:     27 h:     -5
    67 a:         77 n:         13 gcd  1 g:      8 h:     -1
    67 a:         77 n:         13 gcd  3 g:      3 h:      8
    67 a:         77 n:         13 gcd  4 g:      5 h:      9
    73 a:         17 n:        143 gcd 12 g:     27 h:      7
    73 a:         17 n:        143 gcd  1 g:      5 h:     -4
    73 a:         17 n:        143 gcd  3 g:     12 h:      5
    73 a:         17 n:        143 gcd  4 g:      7 h:     -9
    73 a:         63 n:         97 gcd 12 g:      3 h:    -17
    73 a:         63 n:         97 gcd  1 g:      5 h:      4
    73 a:         63 n:         97 gcd  3 g:     12 h:     -5
    73 a:         63 n:         97 gcd  4 g:     17 h:      1
    73 a:         80 n:         46 gcd 12 g:     27 h:     -7
    73 a:         80 n:         46 gcd 12 g:      3 h:     17
    73 a:         80 n:         46 gcd  4 g:     17 h:     -1
    73 a:         80 n:         46 gcd  4 g:      7 h:      9
    79 a:         40 n:        142 gcd 12 g:     21 h:    -13
    79 a:         40 n:        142 gcd 12 g:      9 h:    -17
    79 a:         40 n:        142 gcd  4 g:     13 h:      7
    79 a:         40 n:        142 gcd  4 g:     17 h:      3
    79 a:         51 n:        131 gcd 12 g:     21 h:     13
    79 a:         51 n:        131 gcd  1 g:      2 h:     -5
    79 a:         51 n:        131 gcd  3 g:     15 h:      2
    79 a:         51 n:        131 gcd  4 g:     13 h:     -7
    79 a:         91 n:         11 gcd 12 g:      9 h:     17
    79 a:         91 n:         11 gcd  1 g:      2 h:      5
    79 a:         91 n:         11 gcd  3 g:     15 h:     -2
    79 a:         91 n:         11 gcd  4 g:     17 h:     -3
    91 a:         11 n:        181 gcd 12 g:     15 h:    -17
    91 a:         11 n:        181 gcd  1 g:      8 h:      3
    91 a:         11 n:        181 gcd  3 g:      9 h:     -8
    91 a:         11 n:        181 gcd  4 g:     17 h:      5
    91 a:         19 n:        179 gcd 12 g:     27 h:     11
    91 a:         19 n:        179 gcd  1 g:      4 h:     -5
    91 a:         19 n:        179 gcd  3 g:     15 h:      4
    91 a:         19 n:        179 gcd  4 g:     11 h:     -9
    91 a:         80 n:        118 gcd 12 g:     27 h:    -11
    91 a:         80 n:        118 gcd 12 g:      3 h:    -19
    91 a:         80 n:        118 gcd  4 g:     11 h:      9
    91 a:         80 n:        118 gcd  4 g:     19 h:      1
    91 a:         85 n:        107 gcd 12 g:     33 h:      1
    91 a:         85 n:        107 gcd  1 g:      8 h:     -3
    91 a:         85 n:        107 gcd  3 g:      9 h:      8
    91 a:         85 n:        107 gcd  4 g:      1 h:    -11
    91 a:         96 n:         74 gcd 12 g:     15 h:     17
    91 a:         96 n:         74 gcd 12 g:     33 h:     -1
    91 a:         96 n:         74 gcd  4 g:     17 h:     -5
    91 a:         96 n:         74 gcd  4 g:      1 h:     11
    91 a:         99 n:         61 gcd 12 g:      3 h:     19
    91 a:         99 n:         61 gcd  1 g:      4 h:      5
    91 a:         99 n:         61 gcd  3 g:     15 h:     -4
    91 a:         99 n:         61 gcd  4 g:     19 h:     -1
    97 a:        112 n:          2 gcd 12 g:     33 h:     -5
    97 a:        112 n:          2 gcd 12 g:      9 h:     19
    97 a:        112 n:          2 gcd  4 g:     19 h:     -3
    97 a:        112 n:          2 gcd  4 g:      5 h:     11
    97 a:         55 n:        169 gcd 12 g:      9 h:    -19
    97 a:         55 n:        169 gcd  1 g:      7 h:      4
    97 a:         55 n:        169 gcd  3 g:     12 h:     -7
    97 a:         55 n:        169 gcd  4 g:     19 h:      3
    97 a:         57 n:        167 gcd 12 g:     33 h:      5
    97 a:         57 n:        167 gcd  1 g:      7 h:     -4
    97 a:         57 n:        167 gcd  3 g:     12 h:      7
    97 a:         57 n:        167 gcd  4 g:      5 h:    -11
   103 a:        117 n:         37 gcd 12 g:     33 h:     -7
   103 a:        117 n:         37 gcd  1 g:     10 h:     -1
   103 a:        117 n:         37 gcd  3 g:      3 h:     10
   103 a:        117 n:         37 gcd  4 g:      7 h:     11
   103 a:         40 n:        194 gcd 12 g:     27 h:     13
   103 a:         40 n:        194 gcd 12 g:     33 h:      7
   103 a:         40 n:        194 gcd  4 g:     13 h:     -9
   103 a:         40 n:        194 gcd  4 g:      7 h:    -11
   103 a:         77 n:        157 gcd 12 g:     27 h:    -13
   103 a:         77 n:        157 gcd  1 g:     10 h:      1
   103 a:         77 n:        157 gcd  3 g:      3 h:    -10
   103 a:         77 n:        157 gcd  4 g:     13 h:      9
   109 a:        119 n:         71 gcd 12 g:     15 h:     19
   109 a:        119 n:         71 gcd  1 g:      1 h:      6
   109 a:        119 n:         71 gcd  3 g:     18 h:     -1
   109 a:        119 n:         71 gcd  4 g:     19 h:     -5
   109 a:         24 n:        214 gcd 12 g:     15 h:    -19
   109 a:         24 n:        214 gcd 12 g:     21 h:    -17
   109 a:         24 n:        214 gcd  4 g:     17 h:      7
   109 a:         24 n:        214 gcd  4 g:     19 h:      5
   109 a:         95 n:        143 gcd 12 g:     21 h:     17
   109 a:         95 n:        143 gcd  1 g:      1 h:     -6
   109 a:         95 n:        143 gcd  3 g:     18 h:      1
   109 a:         95 n:        143 gcd  4 g:     17 h:     -7
   127 a:        120 n:        146 gcd 12 g:     21 h:     19
   127 a:        120 n:        146 gcd 12 g:     39 h:      1
   127 a:        120 n:        146 gcd  4 g:     19 h:     -7
   127 a:        120 n:        146 gcd  4 g:      1 h:    -13
   127 a:        133 n:        107 gcd 12 g:     39 h:     -1
   127 a:        133 n:        107 gcd  1 g:     10 h:     -3
   127 a:        133 n:        107 gcd  3 g:      9 h:     10
   127 a:        133 n:        107 gcd  4 g:      1 h:     13
   127 a:         13 n:        253 gcd 12 g:     21 h:    -19
   127 a:         13 n:        253 gcd  1 g:     10 h:      3
   127 a:         13 n:        253 gcd  3 g:      9 h:    -10
   127 a:         13 n:        253 gcd  4 g:     19 h:      7
   133 a:        120 n:        166 gcd 12 g:     33 h:    -13
   133 a:        120 n:        166 gcd 12 g:      3 h:    -23
   133 a:        120 n:        166 gcd  4 g:     13 h:     11
   133 a:        120 n:        166 gcd  4 g:     23 h:      1
   133 a:        143 n:         97 gcd 12 g:      3 h:     23
   133 a:        143 n:         97 gcd  1 g:      5 h:      6
   133 a:        143 n:         97 gcd  3 g:     18 h:     -5
   133 a:        143 n:         97 gcd  4 g:     23 h:     -1
   133 a:        153 n:         23 gcd 12 g:     39 h:     -5
   133 a:        153 n:         23 gcd  1 g:     11 h:     -2
   133 a:        153 n:         23 gcd  3 g:      6 h:     11
   133 a:        153 n:         23 gcd  4 g:      5 h:     13
   133 a:         23 n:        263 gcd 12 g:     33 h:     13
   133 a:         23 n:        263 gcd  1 g:      5 h:     -6
   133 a:         23 n:        263 gcd  3 g:     18 h:      5
   133 a:         23 n:        263 gcd  4 g:     13 h:    -11
   133 a:         65 n:        241 gcd 12 g:     27 h:    -17
   133 a:         65 n:        241 gcd  1 g:     11 h:      2
   133 a:         65 n:        241 gcd  3 g:      6 h:    -11
   133 a:         65 n:        241 gcd  4 g:     17 h:      9
   133 a:         88 n:        218 gcd 12 g:     27 h:     17
   133 a:         88 n:        218 gcd 12 g:     39 h:      5
   133 a:         88 n:        218 gcd  4 g:     17 h:     -9
   133 a:         88 n:        218 gcd  4 g:      5 h:    -13
   m              a            n                  g        h

$\endgroup$
0
$\begingroup$

Worked out how to make two recipes and ignore gcd after calculations. The first recipe is in the earl;ier answer, take $\gcd(g,h) = 1,$ then $g,h$ not both odd, then $g$ not divisible by $3.$

The other recipe is $\gcd(u,v)=1,$ then $u+v$ not divisible by $3,$ recipes $$ n = -u^2 -2uv +2v^2, $$ $$ a = -u^2 +2uv , $$ $$ n = u^2 -uv +v^2. $$

Put them together, we always get $\gcd(n,a,m) = 1,$ and up to $13 \cdot 19 = 247,$

    m             a            n       
     1 a:          0 n:          2 gcd  1 u:      0 v:      1
     1 a:          0 n:          2 gcd  1 u:      0 v:     -1
     1 a:          1 n:          1 gcd  1 g:      1 h:      0
     1 a:          1 n:          1 gcd  1 u:      1 v:      0
     1 a:          1 n:          1 gcd  1 u:      1 v:      1
     7 a:          3 n:         13 gcd  1 g:      2 h:      1
     7 a:          3 n:         13 gcd  1 u:      3 v:      1
     7 a:          3 n:         13 gcd  1 u:      3 v:      2
     7 a:          5 n:         11 gcd  1 g:      2 h:     -1
     7 a:          5 n:         11 gcd  1 u:      1 v:     -2
     7 a:          5 n:         11 gcd  1 u:      1 v:      3
     7 a:          8 n:          2 gcd  1 u:      2 v:     -1
     7 a:          8 n:          2 gcd  1 u:      2 v:      3
    13 a:         15 n:          1 gcd  1 g:      1 h:      2
    13 a:         15 n:          1 gcd  1 u:      3 v:     -1
    13 a:         15 n:          1 gcd  1 u:      3 v:      4
    13 a:          7 n:         23 gcd  1 g:      1 h:     -2
    13 a:          7 n:         23 gcd  1 u:      1 v:     -3
    13 a:          7 n:         23 gcd  1 u:      1 v:      4
    13 a:          8 n:         22 gcd  1 u:      4 v:      1
    13 a:          8 n:         22 gcd  1 u:      4 v:      3
    19 a:         16 n:         26 gcd  1 u:      2 v:     -3
    19 a:         16 n:         26 gcd  1 u:      2 v:      5
    19 a:         21 n:         11 gcd  1 g:      4 h:     -1
    19 a:         21 n:         11 gcd  1 u:      3 v:     -2
    19 a:         21 n:         11 gcd  1 u:      3 v:      5
    19 a:          5 n:         37 gcd  1 g:      4 h:      1
    19 a:          5 n:         37 gcd  1 u:      5 v:      2
    19 a:          5 n:         37 gcd  1 u:      5 v:      3
    31 a:         11 n:         59 gcd  1 g:      2 h:     -3
    31 a:         11 n:         59 gcd  1 u:      1 v:     -5
    31 a:         11 n:         59 gcd  1 u:      1 v:      6
    31 a:         24 n:         46 gcd  1 u:      6 v:      1
    31 a:         24 n:         46 gcd  1 u:      6 v:      5
    31 a:         35 n:         13 gcd  1 g:      2 h:      3
    31 a:         35 n:         13 gcd  1 u:      5 v:     -1
    31 a:         35 n:         13 gcd  1 u:      5 v:      6
    37 a:         33 n:         47 gcd  1 g:      5 h:     -2
    37 a:         33 n:         47 gcd  1 u:      3 v:     -4
    37 a:         33 n:         47 gcd  1 u:      3 v:      7
    37 a:         40 n:         26 gcd  1 u:      4 v:     -3
    37 a:         40 n:         26 gcd  1 u:      4 v:      7
    37 a:          7 n:         73 gcd  1 g:      5 h:      2
    37 a:          7 n:         73 gcd  1 u:      7 v:      3
    37 a:          7 n:         73 gcd  1 u:      7 v:      4
    43 a:         13 n:         83 gcd  1 g:      4 h:     -3
    43 a:         13 n:         83 gcd  1 u:      1 v:     -6
    43 a:         13 n:         83 gcd  1 u:      1 v:      7
    43 a:         35 n:         61 gcd  1 g:      4 h:      3
    43 a:         35 n:         61 gcd  1 u:      7 v:      1
    43 a:         35 n:         61 gcd  1 u:      7 v:      6
    43 a:         48 n:         22 gcd  1 u:      6 v:     -1
    43 a:         48 n:         22 gcd  1 u:      6 v:      7
    49 a:         16 n:         94 gcd  1 u:      8 v:      3
    49 a:         16 n:         94 gcd  1 u:      8 v:      5
    49 a:         39 n:         71 gcd  1 g:      1 h:     -4
    49 a:         39 n:         71 gcd  1 u:      3 v:     -5
    49 a:         39 n:         71 gcd  1 u:      3 v:      8
    49 a:         55 n:         23 gcd  1 g:      1 h:      4
    49 a:         55 n:         23 gcd  1 u:      5 v:     -3
    49 a:         55 n:         23 gcd  1 u:      5 v:      8
    61 a:         56 n:         74 gcd  1 u:      4 v:     -5
    61 a:         56 n:         74 gcd  1 u:      4 v:      9
    61 a:         65 n:         47 gcd  1 g:      7 h:     -2
    61 a:         65 n:         47 gcd  1 u:      5 v:     -4
    61 a:         65 n:         47 gcd  1 u:      5 v:      9
    61 a:          9 n:        121 gcd  1 g:      7 h:      2
    61 a:          9 n:        121 gcd  1 u:      9 v:      4
    61 a:          9 n:        121 gcd  1 u:      9 v:      5
    67 a:         32 n:        122 gcd  1 u:      2 v:     -7
    67 a:         32 n:        122 gcd  1 u:      2 v:      9
    67 a:         45 n:        109 gcd  1 g:      8 h:      1
    67 a:         45 n:        109 gcd  1 u:      9 v:      2
    67 a:         45 n:        109 gcd  1 u:      9 v:      7
    67 a:         77 n:         13 gcd  1 g:      8 h:     -1
    67 a:         77 n:         13 gcd  1 u:      7 v:     -2
    67 a:         77 n:         13 gcd  1 u:      7 v:      9
    73 a:         17 n:        143 gcd  1 g:      5 h:     -4
    73 a:         17 n:        143 gcd  1 u:      1 v:     -8
    73 a:         17 n:        143 gcd  1 u:      1 v:      9
    73 a:         63 n:         97 gcd  1 g:      5 h:      4
    73 a:         63 n:         97 gcd  1 u:      9 v:      1
    73 a:         63 n:         97 gcd  1 u:      9 v:      8
    73 a:         80 n:         46 gcd  1 u:      8 v:     -1
    73 a:         80 n:         46 gcd  1 u:      8 v:      9
    79 a:         40 n:        142 gcd  1 u:     10 v:      3
    79 a:         40 n:        142 gcd  1 u:     10 v:      7
    79 a:         51 n:        131 gcd  1 g:      2 h:     -5
    79 a:         51 n:        131 gcd  1 u:      3 v:     10
    79 a:         51 n:        131 gcd  1 u:      3 v:     -7
    79 a:         91 n:         11 gcd  1 g:      2 h:      5
    79 a:         91 n:         11 gcd  1 u:      7 v:     10
    79 a:         91 n:         11 gcd  1 u:      7 v:     -3
    91 a:         11 n:        181 gcd  1 g:      8 h:      3
    91 a:         11 n:        181 gcd  1 u:     11 v:      5
    91 a:         11 n:        181 gcd  1 u:     11 v:      6
    91 a:         19 n:        179 gcd  1 g:      4 h:     -5
    91 a:         19 n:        179 gcd  1 u:      1 v:     10
    91 a:         19 n:        179 gcd  1 u:      1 v:     -9
    91 a:         80 n:        118 gcd  1 u:     10 v:      1
    91 a:         80 n:        118 gcd  1 u:     10 v:      9
    91 a:         85 n:        107 gcd  1 g:      8 h:     -3
    91 a:         85 n:        107 gcd  1 u:      5 v:     11
    91 a:         85 n:        107 gcd  1 u:      5 v:     -6
    91 a:         96 n:         74 gcd  1 u:      6 v:     11
    91 a:         96 n:         74 gcd  1 u:      6 v:     -5
    91 a:         99 n:         61 gcd  1 g:      4 h:      5
    91 a:         99 n:         61 gcd  1 u:      9 v:     -1
    91 a:         99 n:         61 gcd  1 u:      9 v:     10
    97 a:        112 n:          2 gcd  1 u:      8 v:     11
    97 a:        112 n:          2 gcd  1 u:      8 v:     -3
    97 a:         55 n:        169 gcd  1 g:      7 h:      4
    97 a:         55 n:        169 gcd  1 u:     11 v:      3
    97 a:         55 n:        169 gcd  1 u:     11 v:      8
    97 a:         57 n:        167 gcd  1 g:      7 h:     -4
    97 a:         57 n:        167 gcd  1 u:      3 v:     11
    97 a:         57 n:        167 gcd  1 u:      3 v:     -8
   103 a:        117 n:         37 gcd  1 g:     10 h:     -1
   103 a:        117 n:         37 gcd  1 u:      9 v:     11
   103 a:        117 n:         37 gcd  1 u:      9 v:     -2
   103 a:         40 n:        194 gcd  1 u:      2 v:     11
   103 a:         40 n:        194 gcd  1 u:      2 v:     -9
   103 a:         77 n:        157 gcd  1 g:     10 h:      1
   103 a:         77 n:        157 gcd  1 u:     11 v:      2
   103 a:         77 n:        157 gcd  1 u:     11 v:      9
   109 a:        119 n:         71 gcd  1 g:      1 h:      6
   109 a:        119 n:         71 gcd  1 u:      7 v:     12
   109 a:        119 n:         71 gcd  1 u:      7 v:     -5
   109 a:         24 n:        214 gcd  1 u:     12 v:      5
   109 a:         24 n:        214 gcd  1 u:     12 v:      7
   109 a:         95 n:        143 gcd  1 g:      1 h:     -6
   109 a:         95 n:        143 gcd  1 u:      5 v:     12
   109 a:         95 n:        143 gcd  1 u:      5 v:     -7
   127 a:        120 n:        146 gcd  1 u:      6 v:     13
   127 a:        120 n:        146 gcd  1 u:      6 v:     -7
   127 a:        133 n:        107 gcd  1 g:     10 h:     -3
   127 a:        133 n:        107 gcd  1 u:      7 v:     13
   127 a:        133 n:        107 gcd  1 u:      7 v:     -6
   127 a:         13 n:        253 gcd  1 g:     10 h:      3
   127 a:         13 n:        253 gcd  1 u:     13 v:      6
   127 a:         13 n:        253 gcd  1 u:     13 v:      7
   133 a:        120 n:        166 gcd  1 u:     12 v:      1
   133 a:        120 n:        166 gcd  1 u:     12 v:     11
   133 a:        143 n:         97 gcd  1 g:      5 h:      6
   133 a:        143 n:         97 gcd  1 u:     11 v:     -1
   133 a:        143 n:         97 gcd  1 u:     11 v:     12
   133 a:        153 n:         23 gcd  1 g:     11 h:     -2
   133 a:        153 n:         23 gcd  1 u:      9 v:     13
   133 a:        153 n:         23 gcd  1 u:      9 v:     -4
   133 a:         23 n:        263 gcd  1 g:      5 h:     -6
   133 a:         23 n:        263 gcd  1 u:      1 v:    -11
   133 a:         23 n:        263 gcd  1 u:      1 v:     12
   133 a:         65 n:        241 gcd  1 g:     11 h:      2
   133 a:         65 n:        241 gcd  1 u:     13 v:      4
   133 a:         65 n:        241 gcd  1 u:     13 v:      9
   133 a:         88 n:        218 gcd  1 u:      4 v:     13
   133 a:         88 n:        218 gcd  1 u:      4 v:     -9
   139 a:        160 n:         22 gcd  1 u:     10 v:     13
   139 a:        160 n:         22 gcd  1 u:     10 v:     -3
   139 a:         69 n:        251 gcd  1 g:      8 h:     -5
   139 a:         69 n:        251 gcd  1 u:      3 v:    -10
   139 a:         69 n:        251 gcd  1 u:      3 v:     13
   139 a:         91 n:        229 gcd  1 g:      8 h:      5
   139 a:         91 n:        229 gcd  1 u:     13 v:     10
   139 a:         91 n:        229 gcd  1 u:     13 v:      3
   151 a:        115 n:        227 gcd  1 g:      2 h:     -7
   151 a:        115 n:        227 gcd  1 u:      5 v:     14
   151 a:        115 n:        227 gcd  1 u:      5 v:     -9
   151 a:        171 n:         59 gcd  1 g:      2 h:      7
   151 a:        171 n:         59 gcd  1 u:      9 v:     14
   151 a:        171 n:         59 gcd  1 u:      9 v:     -5
   151 a:         56 n:        286 gcd  1 u:     14 v:      5
   151 a:         56 n:        286 gcd  1 u:     14 v:      9
   157 a:        143 n:        193 gcd  1 g:      7 h:      6
   157 a:        143 n:        193 gcd  1 u:     13 v:      1
   157 a:        143 n:        193 gcd  1 u:     13 v:     12
   157 a:        168 n:        118 gcd  1 u:     12 v:     -1
   157 a:        168 n:        118 gcd  1 u:     12 v:     13
   157 a:         25 n:        311 gcd  1 g:      7 h:     -6
   157 a:         25 n:        311 gcd  1 u:      1 v:    -12
   157 a:         25 n:        311 gcd  1 u:      1 v:     13
   163 a:        112 n:        262 gcd  1 u:     14 v:     11
   163 a:        112 n:        262 gcd  1 u:     14 v:      3
   163 a:        187 n:         37 gcd  1 g:      4 h:      7
   163 a:        187 n:         37 gcd  1 u:     11 v:     14
   163 a:        187 n:         37 gcd  1 u:     11 v:     -3
   163 a:         75 n:        299 gcd  1 g:      4 h:     -7
   163 a:         75 n:        299 gcd  1 u:      3 v:    -11
   163 a:         75 n:        299 gcd  1 u:      3 v:     14
   169 a:         15 n:        337 gcd  1 g:     11 h:      4
   169 a:         15 n:        337 gcd  1 u:     15 v:      7
   169 a:         15 n:        337 gcd  1 u:     15 v:      8
   169 a:        161 n:        191 gcd  1 g:     11 h:     -4
   169 a:        161 n:        191 gcd  1 u:      7 v:     15
   169 a:        161 n:        191 gcd  1 u:      7 v:     -8
   169 a:        176 n:        146 gcd  1 u:      8 v:     15
   169 a:        176 n:        146 gcd  1 u:      8 v:     -7
   181 a:        104 n:        314 gcd  1 u:      4 v:    -11
   181 a:        104 n:        314 gcd  1 u:      4 v:     15
   181 a:        105 n:        313 gcd  1 g:     13 h:      2
   181 a:        105 n:        313 gcd  1 u:     15 v:     11
   181 a:        105 n:        313 gcd  1 u:     15 v:      4
   181 a:        209 n:          1 gcd  1 g:     13 h:     -2
   181 a:        209 n:          1 gcd  1 u:     11 v:     15
   181 a:        209 n:          1 gcd  1 u:     11 v:     -4
   193 a:        175 n:        239 gcd  1 g:      1 h:     -8
   193 a:        175 n:        239 gcd  1 u:      7 v:     16
   193 a:        175 n:        239 gcd  1 u:      7 v:     -9
   193 a:        207 n:        143 gcd  1 g:      1 h:      8
   193 a:        207 n:        143 gcd  1 u:      9 v:     16
   193 a:        207 n:        143 gcd  1 u:      9 v:     -7
   193 a:         32 n:        382 gcd  1 u:     16 v:      7
   193 a:         32 n:        382 gcd  1 u:     16 v:      9
   199 a:        165 n:        277 gcd  1 g:     14 h:      1
   199 a:        165 n:        277 gcd  1 u:     15 v:     13
   199 a:        165 n:        277 gcd  1 u:     15 v:      2
   199 a:        221 n:        109 gcd  1 g:     14 h:     -1
   199 a:        221 n:        109 gcd  1 u:     13 v:     15
   199 a:        221 n:        109 gcd  1 u:     13 v:     -2
   199 a:         56 n:        386 gcd  1 u:      2 v:    -13
   199 a:         56 n:        386 gcd  1 u:      2 v:     15
   211 a:        195 n:        253 gcd  1 g:      8 h:      7
   211 a:        195 n:        253 gcd  1 u:     15 v:      1
   211 a:        195 n:        253 gcd  1 u:     15 v:     14
   211 a:        224 n:        166 gcd  1 u:     14 v:     -1
   211 a:        224 n:        166 gcd  1 u:     14 v:     15
   211 a:         29 n:        419 gcd  1 g:      8 h:     -7
   211 a:         29 n:        419 gcd  1 u:      1 v:    -14
   211 a:         29 n:        419 gcd  1 u:      1 v:     15
   217 a:        160 n:        334 gcd  1 u:     16 v:     13
   217 a:        160 n:        334 gcd  1 u:     16 v:      3
   217 a:         17 n:        433 gcd  1 g:     13 h:      4
   217 a:         17 n:        433 gcd  1 u:     17 v:      8
   217 a:         17 n:        433 gcd  1 u:     17 v:      9
   217 a:        208 n:        242 gcd  1 u:      8 v:     17
   217 a:        208 n:        242 gcd  1 u:      8 v:     -9
   217 a:        225 n:        191 gcd  1 g:     13 h:     -4
   217 a:        225 n:        191 gcd  1 u:      9 v:     17
   217 a:        225 n:        191 gcd  1 u:      9 v:     -8
   217 a:        247 n:         73 gcd  1 g:      5 h:      8
   217 a:        247 n:         73 gcd  1 u:     13 v:     16
   217 a:        247 n:         73 gcd  1 u:     13 v:     -3
   217 a:         87 n:        407 gcd  1 g:      5 h:     -8
   217 a:         87 n:        407 gcd  1 u:      3 v:    -13
   217 a:         87 n:        407 gcd  1 u:      3 v:     16
   223 a:        168 n:        338 gcd  1 u:      6 v:    -11
   223 a:        168 n:        338 gcd  1 u:      6 v:     17
   223 a:        253 n:         83 gcd  1 g:     14 h:     -3
   223 a:        253 n:         83 gcd  1 u:     11 v:     17
   223 a:        253 n:         83 gcd  1 u:     11 v:     -6
   223 a:         85 n:        421 gcd  1 g:     14 h:      3
   223 a:         85 n:        421 gcd  1 u:     17 v:     11
   223 a:         85 n:        421 gcd  1 u:     17 v:      6
   229 a:        119 n:        409 gcd  1 g:     11 h:      6
   229 a:        119 n:        409 gcd  1 u:     17 v:     12
   229 a:        119 n:        409 gcd  1 u:     17 v:      5
   229 a:        145 n:        383 gcd  1 g:     11 h:     -6
   229 a:        145 n:        383 gcd  1 u:      5 v:    -12
   229 a:        145 n:        383 gcd  1 u:      5 v:     17
   229 a:        264 n:         26 gcd  1 u:     12 v:     17
   229 a:        264 n:         26 gcd  1 u:     12 v:     -5
   241 a:        224 n:        286 gcd  1 u:     16 v:      1
   241 a:        224 n:        286 gcd  1 u:     16 v:     15
   241 a:        255 n:        193 gcd  1 g:      7 h:      8
   241 a:        255 n:        193 gcd  1 u:     15 v:     -1
   241 a:        255 n:        193 gcd  1 u:     15 v:     16
   241 a:         31 n:        479 gcd  1 g:      7 h:     -8
   241 a:         31 n:        479 gcd  1 u:      1 v:    -15
   241 a:         31 n:        479 gcd  1 u:      1 v:     16
   247 a:        187 n:        373 gcd  1 g:     10 h:      7
   247 a:        187 n:        373 gcd  1 u:     17 v:     14
   247 a:        187 n:        373 gcd  1 u:     17 v:      3
   247 a:        203 n:        347 gcd  1 g:      2 h:     -9
   247 a:        203 n:        347 gcd  1 u:      7 v:    -11
   247 a:        203 n:        347 gcd  1 u:      7 v:     18
   247 a:        275 n:        131 gcd  1 g:      2 h:      9
   247 a:        275 n:        131 gcd  1 u:     11 v:     18
   247 a:        275 n:        131 gcd  1 u:     11 v:     -7
   247 a:        280 n:         94 gcd  1 u:     14 v:     17
   247 a:        280 n:         94 gcd  1 u:     14 v:     -3
   247 a:         72 n:        478 gcd  1 u:     18 v:     11
   247 a:         72 n:        478 gcd  1 u:     18 v:      7
   247 a:         93 n:        467 gcd  1 g:     10 h:     -7
   247 a:         93 n:        467 gcd  1 u:      3 v:    -14
   247 a:         93 n:        467 gcd  1 u:      3 v:     17
    m             a            n       

$\endgroup$

Your Answer

By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service, privacy policy and cookie policy

Not the answer you're looking for? Browse other questions tagged or ask your own question.