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Hi I have just found the proof that 90 equals 95 and was wondering if I have made some mistake. If so, which step in my proof is not true?

Definitions:
1. $\angle ABC=90^{\circ}$
2. $\angle BCD=95^{\circ}$
3. $|AB|=|CD|$
4. $M:=$ the center of $BC$
5. $N:=$ the center of $AD$
6. $l:=$ a line perpendicular to $BC$ passing through $M$
7. $m:=$ a line perpendicular to $AD$ passing through $N$
8. $S:=$ is the cross-section of $l$ and $m$

Based on definitions 1 through 8 we can draw the following image: 90 = 95

Based on the definitions we can derive the following:
9. $\triangle BSC$ is isosceles (follows from 4, 6 and 8)
10. $\triangle ASD$ is isosceles (follows from 5, 7 and 8)
11. $|BS|=|CS|$ (follows from 9)
12. $|AS|=|DS|$ (follows from 10)
13. $\triangle ABS\cong\triangle DCS$ (follows from 3, 11 and 12)
14. $\angle ABS=\angle DCS$ (follows from 13)
15. $\angle CBS=\angle BCS$ (follows from 9)
16. $\angle ABC=\angle ABS - \angle CBS=\angle DCS-\angle BCS=\angle BCD$ (follows from 14 and 15)
17. $90^{\circ}=95^{\circ}$ (follows from 1, 2 and 16)

Note: point $S$ is indeed lying above $BC$. If however it would be below $BC$, then the 'minus' in step 16 would simply have to be changed into a 'plus'.

Also note: The image is not drawn to scale. It only serves as to provide the reader with a intuitive view of the proof.

Also also note: before posting, I have first investigated if this type of question would be appropriate. Based on How come 32.5 = 31.5? and the following meta Questions about math jokes I have decided to post this question.

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1  
This one and its variants are actually fairly well-known: see en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_fallacy#Geometry for a spoiler. But finding the error is still a fun puzzle. –  Vandermonde Oct 22 '10 at 9:37
6  
Hav you tried drawing an accurate diagram? –  Robin Chapman Oct 22 '10 at 9:40
1  
@Robin, no doubt that would help the intuition, but surely the wrongness of the proof has to be independent of the diagram. –  LarsH Oct 22 '10 at 10:11
2  
@Matthijs: "through one of my uncles" - was it by chance Uncle Shelby?? (en.wikipedia.org/wiki/Uncle_Shelby%27s_ABZ_Book) "Or is it correct?" Uhm... yes... 90 = 95, from which we can conclude that pigs fly. –  LarsH Oct 22 '10 at 10:14
2  
Or is it correct? –  I. J. Kennedy Dec 1 '10 at 16:45
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2 Answers

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Your statement 16 depends on the way in which the diagram is drawn to know that ∠DCS = ∠DCB + ∠BCS.

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How is it false then? PS: use dollar signs to encapsulate math. You wanted to type: \angle DCS=\angle DCB+\angle BCS –  Matthijs Wessels Oct 22 '10 at 11:07
2  
@Matthis: Carry out the construction in the proof yourself using a geometry set (you can get by with a ruled sheet and a ruler) and you will immediately see what is wrong with the diagram. –  Jyotirmoy Bhattacharya Oct 22 '10 at 11:53
    
@Matt: I believe Isaac knows about the latex. The ∠ is an html escape code. Unfortunately, I don't think that exists, though. –  Aryabhata Oct 22 '10 at 14:49
    
@Matt, @Matthijs: That's odd—∠ renders correctly in Chrome... Apparently, I was supposed to use ∠, but even that doesn't work in IE6 and IE7. –  Isaac Oct 22 '10 at 17:30
2  
@Matthijs: Specifically, 16 depends on the (false) assertion from the diagram that DS is "between" DA and DC, when it is in fact on the "other side" of DC. –  Isaac Oct 22 '10 at 17:33
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$$ \begin{array}{l} 0\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\in \mathbb N\\ \hline 0'\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\in \mathbb N\\ \hline 0''\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\in \mathbb N\\ \hline 0'''\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\in \mathbb N\\ \hline 0''''\in\mathbb N\\ \forall n\in \mathbb N : n'\neq0\\ \hline 0'''''\neq0\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''\neq0'\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''\neq0''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''\neq0'''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''\neq0''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''\neq0'''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''\neq0''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''\neq0'''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''\neq0''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''\neq0'''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''\neq0''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''\neq0'''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''\neq0''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0'''''''''''''''''''''''''''''\neq0''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq n\rightarrow m'\neq n' \\ \hline 0''''''''''''''''''''''''''''''\neq0'''''''''''''''''''''''''\\ \forall m,n\in \mathbb N:m\neq 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Apparently, using your argument and matthijs proof, it follows that arithmetic is inconsistent ;-) –  wood Jul 9 '11 at 15:14
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@Isaac: I think you are. This is a proof from the Peano axioms that $95\neq90$. –  joriki Jul 9 '11 at 15:14
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lol, btw. I think there is a mistake in line $0′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′$ ;) –  t.b. Jul 9 '11 at 19:42
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@Marvis: It's clearly not intended to answer the question. Do you feel that this sort of humour is out of place on this site? –  joriki Dec 28 '12 at 11:16
4  
@joriki A short good humored comment is fine with me. But I feel this answer will only add to the OP's confusion, since the OP might not even understand what you are trying to convey and the motivation behind your answer. This is, of course, just my opinion. Given that your answer has received $15$ up-votes compared to just $3$ down-votes, clearly the rest of the site believe such an answer is fine. –  user17762 Dec 28 '12 at 19:23
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