HINT:
$$\mathcal{L}_{s}^{-1}\left[\frac{1}{(s+1)(s+2)^4}\right]_{(t)}=$$
$$\mathcal{L}_{s}^{-1}\left[\frac{1}{s+1}-\frac{s^3+7s^2+17s+15}{(s+2)^4}\right]_{(t)}=$$
$$\mathcal{L}_{s}^{-1}\left[\frac{1}{1+s}-\frac{1}{(s+2)^4}-\frac{1}{(s+2)^3}-\frac{1}{(s+2)^2}-\frac{1}{s+2}\right]_{(t)}=$$
$$\mathcal{L}_{s}^{-1}\left[\frac{1}{1+s}-\frac{1}{(s+2)^4}-\frac{1}{(s+2)^3}-\frac{1}{(s+2)^2}-\frac{1}{s+2}\right]_{(t)}=$$
Now, use:
- $$\mathcal{L}_{s}^{-1}\left[\frac{1}{s+1}\right]_{(t)}=e^{-t}$$
- $$\mathcal{L}_{s}^{-1}\left[\frac{1}{s+2}\right]_{(t)}=e^{-2t}$$
$$\mathcal{L}_{s}^{-1}\left[-\frac{1}{(s+2)^4}-\frac{1}{(s+2)^3}-\frac{1}{(s+2)^2}\right]_{(t)}+e^{-t}-e^{-2t}=$$
Now, use:
- $$\mathcal{L}_{s}^{-1}\left[\frac{1}{(s+x)^n}\right]_{(t)}=\frac{t^{n-1}}{e^{tx}\Gamma[n]}$$
$$e^{-t}-e^{-2t}-\frac{t^{4-1}}{e^{2t}\Gamma[4]}-\frac{t^{3-1}}{e^{2t}\Gamma[3]}-\frac{t^{2-1}}{e^{2t}\Gamma[2]}=$$
$$e^{-t}-e^{-2t}-\frac{t^3}{e^{2t}\Gamma[4]}-\frac{t^2}{e^{2t}\Gamma[3]}-\frac{t}{e^{2t}\Gamma[2]}=$$
$$e^{-t}-e^{-2t}-\frac{t^3}{6e^{2t}}-\frac{t^2}{2e^{2t}}-\frac{t}{e^{2t}}$$